Suponha que A B=B A e A C=C A para estas duas matrizes particulares B e C :
A=[ll a & b c & d ], B=[ll 1 & 0 0 & 0 ], C=[ll 0 & 1 0 & 0 ]
Prove que a=d e b=c=0. Então A é um múltiplo de I. As únicas matrizes que comutam com B e C e todas as outras matrizes 2 times 2 são múltiplas de I.

Passo 1

O enunciado diz que
e pede para usar as igualdades e a fim de mostrar que e . O conteúdo é multiplicação de matrizes e comparação de entradas.

Passo 2

Calculemos primeiro
enquanto
Da igualdade igualamos entradas correspondentes.

Passo 3

Comparando obtemos

Passo 4

Com b=c=0 a matriz fica A=a&00&d. Agora
AC=a&00&d0&10&0 =0&a0&0, CA=0&10&0a&00&d =0&d0&0
Igualando AC=CA na posição (1,2) vem
a=d

Passo 5

Logo A=a&00&a=aI. Uma vez que qualquer múltiplo escalar de I comuta com toda matriz 2times2, concluímos que as únicas matrizes que comutam com B e C (e de fato com qualquer matriz 2times2) são múltiplos de I.

Resposta

a=d, b=c=0,
ou seja, A=aI.

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