Suponha que e para estas duas matrizes particulares e :
Prove que a=d e b=c=0. Então A é um múltiplo de I. As únicas matrizes que comutam com B e C e todas as outras matrizes 2 times 2 são múltiplas de I.
Passo 1
O enunciado diz que
e pede para usar as igualdades e a fim de mostrar que e . O conteúdo é multiplicação de matrizes e comparação de entradas.
Passo 2
Calculemos primeiro
enquanto
Da igualdade igualamos entradas correspondentes.
Passo 3
Comparando obtemos
Passo 4
Com b=c=0 a matriz fica A=a&00&d. Agora
AC=a&00&d0&10&0 =0&a0&0, CA=0&10&0a&00&d =0&d0&0
Igualando AC=CA na posição (1,2) vem
a=d
Passo 5
Logo A=a&00&a=aI. Uma vez que qualquer múltiplo escalar de I comuta com toda matriz 2times2, concluímos que as únicas matrizes que comutam com B e C (e de fato com qualquer matriz 2times2) são múltiplos de I.