Quais das seguintes matrizes são garantidas como iguais a (A-B)^2 :
& A^2-B^2, (B-A)^2, A^2-2 A B+B^2 & A(A-B)-B(A-B), A^2-A B-B A+B^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das expressões abaixo coincidem com (A-B)^2 para matrizes A e B arbitrárias:
A^2-B^2, (B-A)^2, A^2-2AB+B^2, A(A-B)-B(A-B), A^2-AB-BA+B^2
O conteúdo envolvido é a expansão de produtos de matrizes e a observação de que geralmente ABneq BA.

Passo 2

Vamos expandir diretamente (A-B)^2 usando a distributividade:
(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2
Essa é a forma canônica que vale sem precisar supor comutatividade.

Passo 3

Comparando com A^2 - B^2: A^2 - B^2 neq A^2 - AB - BA + B^2
em geral, pois o termo misto em (A-B)^2 envolve -AB e -BA, não apenas -B^2. Logo, A^2-B^2 não é garantido igual a (A-B)^2.

Passo 4

Analisando (B-A)^2: (B-A)^2 = [-(A-B)]^2 = (-1)^2,(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2
Como escalar -1 comuta com matrizes, temos (B-A)^2=(A-B)^2 sempre.

Passo 5

Para A^2 - 2AB + B^2, essa é a expansão usual de (A-B)^2 só quando AB=BA. Sem comutatividade, -2ABneq -AB-BA em geral, então A^2 - 2AB + B^2 não coincide garantidamente com (A-B)^2.

Passo 6

Verificando A(A-B)-B(A-B):
A(A-B)-B(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2,
pois -B(A-B)=-BA+B^2. Isso bate exatamente com a expansão de (A-B)^2.

Passo 7

A expressão A^2 - AB - BA + B^2 foi obtida na expansão direta de (A-B)^2, então certamente coincide com (A-B)^2.

Resposta

(B-A)^2, A(A-B)-B(A-B), A^2 - AB - BA + B^2 são as expressões garantidas iguais a (A-B)^2.

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