Quais das seguintes matrizes são garantidas como iguais a
:
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das expressões abaixo coincidem com
para matrizes
e
arbitrárias:
O conteúdo envolvido é a expansão de produtos de matrizes e a observação de que geralmente
.
Passo 2
Vamos expandir diretamente
usando a distributividade:
Essa é a forma canônica que vale sem precisar supor comutatividade.
Passo 3
Comparando com
:
em geral, pois o termo misto em
envolve
e
, não apenas
. Logo,
não é garantido igual a
.
Passo 4
Analisando
:
Como escalar
comuta com matrizes, temos
sempre.
Passo 5
Para
, essa é a expansão usual de
só quando
. Sem comutatividade,
em geral, então
não coincide garantidamente com
.
Passo 6
Verificando
:
pois
. Isso bate exatamente com a expansão de
.
Passo 7
A expressão
foi obtida na expansão direta de
, então certamente coincide com
.