Matrizes de Vandermonde. Mostre (sem fazer as contas) que
através dos seguintes passos:
a) Pense em c como uma variável e denote o determinante por f(c). Explique porque f(c) é um polinômio de segundo grau em c.
b) Explique porque a e b são zeros de f(c) e conclua que f(c)=k(c-b)(c-a).
c) Calcule f(0) pela fórmula no item anterior pelo determinante, e então calcule k.
d) Prove agora que
det[cccc 1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3 ]=(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)
e) Note que, fazendo por indução os mesmos passos, é possível mostrarmos o caso geral.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, definindo
f(c)=det 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 ,
temos
f(c)=(c-b)(c-a)(b-a),
e depois estender a argumento idêntico ao caso
det 1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3 =(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)
O conteúdo principal é usar a multilinearidade do determinante, zeros decorrentes de colunas iguais e identificação de polinômios em c (ou d).
Passo 2
a) Como o determinante é multilinear em cada coluna, olhando a terceira coluna l(1,c,c^2r)^T vemos que cada termo da expansão é um monômio em c de grau no máximo 2. Logo
f(c)
é um polinômio de grau <=2 em c.
Passo 3
b) Se c=a, a terceira coluna coincide com a primeira e o determinante anula, ou seja f(a)=0. Analogamente f(b)=0. Assim a e b são raízes de f, de modo que existe constante k tal que
f(c)=k,(c-a)(c-b)
Passo 4
c) Para achar , avaliamos em . Primeiro, pela forma fatorada,
Por outro lado, diretamente
expande-se pela terceira coluna, ficando
Igualando conclui-se . Portanto
que é o mesmo que .
Passo 5
d) Seja agora
g(d)=det 1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3
Pela mesma razão, g(d) é polinômio de grau <=3 em d e anula-se em d=a,b,c. Segue que
g(d)=K,(d-a)(d-b)(d-c)
Avaliar em d=0 e comparar com a expansão pela quarta coluna mostra
K=(c-b)(c-a)(b-a),
resultando
g(d)=(d-c)(d-b)(d-a),(c-b)(c-a)(b-a)
Passo 6
e) Basta repetir o mesmo argumento por indução no tamanho da matriz para obter o caso geral ntimes n.
Resposta
det 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 =(c-b)(c-a)(b-a),
det 1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3 =(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)