1. Minimizar a fun, \mathrm{c}^{\sim} ao-objetivo Z
\begin{aligned} \operatorname{Min} Z & =4 x_{1}+8 x_{2} \\\ \text { sujeito }{ }^{`} a & : \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2} & \leq 18 \\\ x_{1}+x_{2} & \leq 5 \\\ x_{1} & \leq 4 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função objetivo
Z = 4x_{1} + 8x_{2}
sujeita às restrições
\begin{cases} 3x_{1} + 2x_{2} \le 18,\\\ x_{1} + x_{2} \le 5,\\\ x_{1} \le 4,\\\ x_{1},\,x_{2} \ge 0. \end{cases}
O conteúdo aqui é programação linear e vamos usar a ideia de que, como a região factível é um polígono convexo no primeiro quadrante, o mínimo de Z ocorre num dos seus vértices.

Passo 2

Encontramos os vértices da região factível resolvendo as restrições como igualdades em pares e incluindo os eixos:
  1. Origem (0,0).
  2. Interseção de x_{1}=4 com x_{2}=0: (4,0).
  3. Interseção de x_{1}=0 com x_{1}+x_{2}=5: (0,5).
  4. Interseção de x_{1}=4 com x_{1}+x_{2}=5: (4,1).
    Verifica-se que todos satisfazem as demais restrições.

Passo 3

Calculamos Z em cada vértice:
\begin{aligned} Z(0,0)&=4\cdot0+8\cdot0=0,\\\ Z(4,0)&=4\cdot4+8\cdot0=16,\\\ Z(0,5)&=4\cdot0+8\cdot5=40,\\\ Z(4,1)&=4\cdot4+8\cdot1=16+8=24. \end{aligned}
O menor valor é Z=0 em (0,0).

Resposta

x_{1}=0,\;x_{2}=0 com valor ótimo Z_{\min}=0.

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