O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27,0 mu m (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total irradiada se torne duas vezes maior. Determine a nova temperatura da cavidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma cavidade (tipo corpo negro) cuja distribuição espectral de potência atinge o máximo em λₘₐₓ = 27,0 μm. Aí a gente esquenta mais a cavidade até que a potência total irradiada dobre. O que pedem é a nova temperatura.
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Deslocamento de Wien: relaciona λₘₐₓ e T.
  • Lei de Stefan–Boltzmann: liga a potência total irradiada com T⁴.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a temperatura inicial T₁ usando a Lei de Wien, que diz:
lambdamax ,T ;=; b,,
onde T1 ;=;blambdamax =2,898times10^-3,mcdot K27,0times10^-6,m approx 107,3;K.
Então
$$T_1 ;=;\frac{b}{\lambda_{\max}}
=\frac{2{,}898\times10^{-3},\mathrm{m\cdot K}}{27{,}0\times10^{-6},\mathrm{m}}
\approx 107{,}3;\mathrm{K}.$$

Passo 3

Agora, a Lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência total por área PA = sigma,T^4,, é
P2 = 2,P1 Longrightarrow sigma,T2^4 = 2,sigma,T1^4 Longrightarrow T2^4 = 2,T1^4 Longrightarrow T2 = 2^1/4,T1
onde é a constante de Stefan–Boltzmann. Se a potência total dobra, então
$$P_2 = 2,P_1
\quad\Longrightarrow\quad
\sigma,T_2^4 = 2,\sigma,T_1^4
\quad\Longrightarrow\quad
T_2^4 = 2,T_1^4
\quad\Longrightarrow\quad
T_2 = 2^{1/4},T_1.$$

Passo 4

Bastou substituir T2 = 2^1/4times 107,3;K approx 1,189 times 107,3;K approx 127,6;K:

Resposta

A nova temperatura da cavidade é aproximadamente .

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