O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27.000 nm (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total irradiada se torna três vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade; e (b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral.

Passo 1

O enunciado descreve uma cavidade que se comporta como corpo negro e tem o máximo da distribuição espectral em \lambda_1=27000\;\text{nm}. A potência total irradiada é aumentada até ficar três vezes maior. Vamos usar:
– Lei de Wien para relacionar \lambda_{\max} e T.
– Lei de Stefan–Boltzmann para a potência total irradiada E\propto T^4.

Passo 2

Pela Lei de Wien temos
\lambda_{\max}\,T = b,
com b = 2,898\times10^6\;\text{nm\cdotK}. Assim a temperatura inicial é
T_1 = \frac{b}{\lambda_1} = \frac{2,898\times10^6}{27000} \approx 107{,}3\;\text{K}.

Passo 3

Como a potência total segue E\propto T^4, para que E_2 = 3E_1 devemos ter
\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 3 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T_1\,3^{1/4} \approx 107{,}3\times3^{1/4} \approx 141{,}3\;\text{K}.

Passo 4

A nova posição do máximo é dada por
\lambda_2 = \frac{b}{T_2} = \frac{2,898\times10^6}{141{,}3} \approx 2,05\times10^4\;\text{nm} \approx 20500\;\text{nm}.

Resposta

(a) T_2\approx141{,}3\;\text{K}.
(b) \lambda_2\approx2,05\times10^4\;\text{nm}.

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