(a) Qual é a origem do termo “catástrofe do ultravioleta”?; e (b) Qual foi a ideia revolucionária de Planck ao explicar o espectro de radiação do corpo negro? O que isso implica com relação a energia média de cada modo de vibração?
Passo 1
O enunciado pergunta, em essência, sobre o problema clássico da radiação do corpo negro (conhecido como “catástrofe do ultravioleta”) e qual foi a ideia-chave que Max Planck usou para resolvê-lo. O conteúdo envolve a lei de Rayleigh–Jeans, o teorema de equipartição da energia e a hipótese quântica de Planck. Vamos primeiro entender de onde veio o termo “catástrofe do ultravioleta” e depois ver o salto revolucionário de Planck.
Passo 2
Em teoria clássica, cada modo de oscilação eletromagnética em equilíbrio térmico carrega em média energia
onde
é a constante de Boltzmann e
a temperatura. Ao calcular a densidade espectral de energia em função da frequência
, Rayleigh e Jeans obtiveram
que cresce sem limite quando
. Integrando sobre todas as frequências dá energia total infinita. Essa previsão obviamente não bate com os experimentos, e a discrepância em altas frequências (ultravioleta) foi apelidada de “catástrofe do ultravioleta”: a teoria previa uma explosão infinita de energia em comprimentos de onda cada vez menores.
Passo 3
Para contornar essa “catástrofe”, Planck propôs que os osciladores que emitem e absorvem radiação trocam energia não de forma contínua, mas em pacotes discretos (quanta) de tamanho
onde
é a constante de Planck. Ou seja, cada modo de frequência
só pode ter energias
com
. Essa hipótese – de que a energia não varia de modo contínuo, mas em múltiplos inteiros de
– foi o grande salto.
Passo 4
A quantização leva à distribuição de ocupação de Bose–Einstein (sem a parte de degenerescência quântica de fótons) e faz a energia média de cada modo virar
Para frequências baixas (
) essa expressão aproxima-se de
(recuperando o clássico), mas para frequências altas (
) ela decai exponencialmente, evitando a divergência e reproduzindo o espectro experimental do corpo negro.
Resposta
(a) O termo “catástrofe do ultravioleta” vem do fato de que, pela lei de Rayleigh–Jeans (equipartição clássica), a densidade espectral cresce como
e leva a energia total infinita quando
, o que contradiz o experimento.
(b) Planck rompeu com o contínuo e assumiu que cada modo de frequência só troca energia em quanta
. Isso implica que a energia média de cada modo é
(b) Planck rompeu com o contínuo e assumiu que cada modo de frequência
o que elimina a divergência para altas frequências e concilia teoria e experimento.