(a) Qual é a origem do termo “catástrofe do ultravioleta”?; e (b) Qual foi a ideia revolucionária de Planck ao explicar o espectro de radiação do corpo negro? O que isso implica com relação a energia média de cada modo de vibração?

Passo 1

O enunciado pergunta, em essência, sobre o problema clássico da radiação do corpo negro (conhecido como “catástrofe do ultravioleta”) e qual foi a ideia-chave que Max Planck usou para resolvê-lo. O conteúdo envolve a lei de Rayleigh–Jeans, o teorema de equipartição da energia e a hipótese quântica de Planck. Vamos primeiro entender de onde veio o termo “catástrofe do ultravioleta” e depois ver o salto revolucionário de Planck.

Passo 2

Em teoria clássica, cada modo de oscilação eletromagnética em equilíbrio térmico carrega em média energia
\bar{E}_{\rm clássico} = kTá
onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura. Ao calcular a densidade espectral de energia em função da frequência \nu, Rayleigh e Jeans obtiveram
u(\nu)\propto \nu^2\,kT \,,
que cresce sem limite quando \nu\to\infty. Integrando sobre todas as frequências dá energia total infinita. Essa previsão obviamente não bate com os experimentos, e a discrepância em altas frequências (ultravioleta) foi apelidada de “catástrofe do ultravioleta”: a teoria previa uma explosão infinita de energia em comprimentos de onda cada vez menores.

Passo 3

Para contornar essa “catástrofe”, Planck propôs que os osciladores que emitem e absorvem radiação trocam energia não de forma contínua, mas em pacotes discretos (quanta) de tamanho
\varepsilon = h\,\nu
onde h é a constante de Planck. Ou seja, cada modo de frequência \nu só pode ter energias E_n = n\,h\nu com n=0,1,2,\dots. Essa hipótese – de que a energia não varia de modo contínuo, mas em múltiplos inteiros de h\nu – foi o grande salto.

Passo 4

A quantização leva à distribuição de ocupação de Bose–Einstein (sem a parte de degenerescência quântica de fótons) e faz a energia média de cada modo virar
\bar{E} \;=\;\frac{h\nu}{e^{\,h\nu/(kT)} - 1}\,.
Para frequências baixas ( h\nu\ll kT) essa expressão aproxima-se de kT (recuperando o clássico), mas para frequências altas ( h\nu\gg kT) ela decai exponencialmente, evitando a divergência e reproduzindo o espectro experimental do corpo negro.

Resposta

(a) O termo “catástrofe do ultravioleta” vem do fato de que, pela lei de Rayleigh–Jeans (equipartição clássica), a densidade espectral cresce como \nu^2 e leva a energia total infinita quando \nu\to\infty, o que contradiz o experimento.
(b) Planck rompeu com o contínuo e assumiu que cada modo de frequência \nu só troca energia em quanta \varepsilon = h\nu. Isso implica que a energia média de cada modo é
\bar{E} = \frac{h\nu}{e^{\,h\nu/(kT)} - 1}\,,
o que elimina a divergência para altas frequências e concilia teoria e experimento.

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