Num processo de espalhamento Compton, detectam-se o fóton e o elétron após a colisão. Determina-se que o elétron tem uma energia cinética de 75 keV e o fóton uma energia de 200 keV . (a) Determine o comprimento de onda inicial do fóton; \mathbf{e}(\mathbf{b}) Determine os ângulos de difusão do elétron e do fóton.

Passo 1

O enunciado descreve um espalhamento Compton em que o fóton incidente de energia desconhecida E colide com um elétron em repouso. Após a colisão, medimos
T = 75\\ \text{keV}
como energia cinética do elétron, e
E' = 200\\ \text{keV}
como energia do fóton espalhado. Precisamos achar (a) o comprimento de onda inicial \lambda do fóton e (b) os ângulos de espalhamento do fóton ( \theta) e do elétron ( \varphi). Usaremos conservação de energia, a fórmula do espalhamento Compton e conservação de momento.

Passo 2

Pela conservação de energia em Compton temos
E + m c^2 = E' + \bigl(T + m c^2\bigr)
onde m c^2 = 511\\ \text{keV} é a energia de repouso do elétron. Logo
E = E' + T = 200\\ \text{keV} + 75\\ \text{keV} = 275\\ \text{keV}.

Passo 3

O comprimento de onda inicial do fóton é dado por
\lambda = \frac{h c}{E}.
Usando h c = 1{,}24\\ \text{keV}\cdot\text{nm}, segue
\lambda = \frac{1{,}24\\ \text{keV}\cdot\text{nm}}{275\\ \text{keV}} = 4{,}51\times10^{-3}\\ \text{nm} = 4{,}51\\ \text{pm}.

Passo 4

A fórmula de Compton relaciona \lambda e \lambda' por
\lambda' - \lambda = \lambda_C\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde \lambda_C = \frac{h}{m c}=2{,}426\\ \text{pm}. Em vez de trabalhar com comprimentos de onda, usamos a forma em energia:
\frac{1}{E'} - \frac{1}{E} = \frac{1}{m c^2}\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Substituindo E=275\\ \text{keV}, E'=200\\ \text{keV} e m c^2=511\\ \text{keV}:
1-\cos\theta = 511\biggl(\frac{1}{200}-\frac{1}{275}\biggr) = 511\times0{,}00136364 = 0{,}697.
Logo
\cos\theta = 1 - 0{,}697 = 0{,}303 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}(0{,}303) \approx 72{,}3^\circ.

Passo 5

Para encontrar o ângulo \varphi do elétron usamos conservação de momento vetorial. Sejam p=E/c e p'=E'/c. A componente transversal ao eixo inicial do fóton dá
p_e\sin\varphi = p'\sin\theta,
e a componente longitudinal
p_e\cos\varphi = p - p'\cos\theta.
Daí
\tan\varphi = \frac{p'\sin\theta}{\,p - p'\cos\theta\,} = \frac{E'\sin\theta}{E - E'\cos\theta} = \frac{200\times0{,}9535}{275 - 200\times0{,}303} \approx 0{,}8898,
onde usamos \sin\theta\approx0{,}9535. Logo
\varphi = \arctan(0{,}8898)\approx 41{,}9^\circ.

Resposta

(a) \lambda = 4{,}51\\ \text{pm}.
(b) \theta \approx 72{,}3^\circ e \varphi \approx 41{,}9^\circ.

Exercícios relacionados