O máximo e o mínimo de f(x, y)=2 x^2+2 y^2-2 x-2 y+3 na região delimitada pelo triângulo de vertíces (0,0),(1,0) e (0,1) são respectivamente:
(a) 3 e 52
(b) 3 e 2
(c) 0 e 2
(d) 1 e 2
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x,y)=2x^2+2y^2-2x-2y+3
definida na região triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). O objetivo é encontrar o mínimo e o máximo de f nesse conjunto fechado e limitado. Para isso vamos:
  1. Procurar pontos críticos dentro da região usando nabla f=0.
  2. Verificar se esse ponto está no triângulo.
  3. Avaliar f nos vértices (candidatos a extremantes na fronteira).
  4. Comparar os valores obtidos para identificar máximo e mínimo.

Passo 2

Calculando o gradiente:
nabla f(x,y)=l(4x-2,;4y-2r)
Igualando a zero obtém-se o ponto crítico:
4x-2=0implies x=12, 4y-2=0implies y=12

Passo 3

O ponto l(tfrac12,tfrac12r) satisfaz x>=0, y>=0 e x+y=1, logo está na fronteira do triângulo. Calculamos
fl(tfrac12,tfrac12r) =2l(tfrac14+tfrac14r)-2l(tfrac12+tfrac12r)+3 =1-2+3=2
Por se tratar de uma função quadrática com Hessiana positiva definida, esse valor é o mínimo global na região.

Passo 4

Agora avaliamos f nos vértices, pois em funções convexas o máximo em conjunto convexo fechado ocorre em pontos extremos:
f(0,0)=3, f(1,0)=2cdot1-2+3=3, f(0,1)=3
Todos os vértices dão f=3, que é o maior valor encontrado.

Passo 5

Comparando, o valor mínimo é 2 em l(tfrac12,tfrac12r) e o máximo é 3 nos vértices.

Resposta

(b) 3 e 2

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