O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(a) 3 e
(b) 3 e 2
(c) 0 e 2
(d) 1 e 2
(e) Nenhuma das alternativas acima.
(a) 3 e
(b) 3 e 2
(c) 0 e 2
(d) 1 e 2
(e) Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a função
definida na região triangular com vértices
,
e
. O objetivo é encontrar o mínimo e o máximo de
nesse conjunto fechado e limitado. Para isso vamos:
- Procurar pontos críticos dentro da região usando
. - Verificar se esse ponto está no triângulo.
- Avaliar
nos vértices (candidatos a extremantes na fronteira). - Comparar os valores obtidos para identificar máximo e mínimo.
Passo 2
Calculando o gradiente:
Igualando a zero obtém-se o ponto crítico:
Passo 3
O ponto
satisfaz
,
e
, logo está na fronteira do triângulo. Calculamos
Por se tratar de uma função quadrática com Hessiana positiva definida, esse valor é o mínimo global na região.
Passo 4
Agora avaliamos
nos vértices, pois em funções convexas o máximo em conjunto convexo fechado ocorre em pontos extremos:
Todos os vértices dão
, que é o maior valor encontrado.
Passo 5
Comparando, o valor mínimo é
em
e o máximo é
nos vértices.
Resposta
(b) 3 e 2