No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
, considere o triângulo
, cujos vértices são
e
, com
. Sabendo que o lado
mede 20, a área do triângulo
, em unidades de área é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo
no plano cartesiano, com os vértices em
,
e
. Sabemos que o lado
mede 20 unidades e queremos achar a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos e a fórmula da área de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que a distância entre os pontos
e
é 20. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando os valores:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Subtraindo 256 de ambos os lados para isolar
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Agora que sabemos que
, temos as coordenadas completas do ponto
:
.
Para calcular a área do triângulo
, podemos usar a fórmula de área para triângulos no plano cartesiano:
Passo 6
Vamos identificar a base e a altura do triângulo. Observando os pontos
e
, vemos que eles estão sobre o eixo
, então a distância entre eles será a base do triângulo.
Calculando a base:
A altura do triângulo é a distância do ponto
ao eixo
, que simplesmente é o valor de
de
, ou seja, 12 unidades.
Passo 7
Agora, aplicando os valores na fórmula da área:
Resposta
A área do triângulo
é
unidades de área.