No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, considere o triângulo ABC, cujos vértices são A=(-5,0), B=(15,0) e C=(-1, a), com a>0. Sabendo que o lado BC mede 20, a área do triângulo ABC, em unidades de área é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo ABC no plano cartesiano, com os vértices em A=(-5,0) , B=(15,0) e C=(-1,a) . Sabemos que o lado BC mede 20 unidades e queremos achar a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos e a fórmula da área de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de a . Sabemos que a distância entre os pontos B(15,0) e C(-1,a) é 20. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando os valores:
20 = raiz(-1 - 15)^2 + (a - 0)^2

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
20 = raiz(-16)^2 + a^2
20 = raiz256 + a^2
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
20^2 = 256 + a^2
400 = 256 + a^2

Passo 4

Subtraindo 256 de ambos os lados para isolar a^2 :
400 - 256 = a^2
144 = a^2
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
a = raiz144
a = 12

Passo 5

Agora que sabemos que a = 12 , temos as coordenadas completas do ponto C : C(-1,12) .
Para calcular a área do triângulo ABC , podemos usar a fórmula de área para triângulos no plano cartesiano:
Área = 12 times base times a<ura Á

Passo 6

Vamos identificar a base e a altura do triângulo. Observando os pontos A(-5,0) e B(15,0) , vemos que eles estão sobre o eixo x , então a distância entre eles será a base do triângulo.
Calculando a base:
Base = |15 - (-5)| = 20 unidades
A altura do triângulo é a distância do ponto C(-1,12) ao eixo x , que simplesmente é o valor de y de C , ou seja, 12 unidades.

Passo 7

Agora, aplicando os valores na fórmula da área:
Área = 12 times 20 times 12 Á
Área = 12 times 240 Á
Área = 120 unidades de área Áá

Resposta

A área do triângulo ABC é 120 unidades de área.

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