A partir das equações de Maxwell, obtenha a equação da continuidade
nabla cdot J+partial rhopartial t=0
que representa a lei da conservação da carga elétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, a partir das equações de Maxwell, se obtém a equação de continuidade
nabla cdot J + partial rhopartial t = 0,
que expressa a conservação da carga elétrica. Vamos usar duas equações de Maxwell no material (em forma macroscópica):
  1. A lei de Ampère–Maxwell:
nabla times H = J + partial Dpartial t
  1. A lei de Gauss para o campo elétrico (densidade de carga):
nabla cdot D = rho
Também precisaremos da identidade vetorial nabla cdot (nabla times A) = 0.

Passo 2

Aplique o operador divergência à lei de Ampère–Maxwell:
nabla cdot l(nabla times Hr) = nabla cdot J + nabla cdot partial Dpartial t

Passo 3

Pela identidade vetorial nabla cdot (nabla times H)=0 e trocando a ordem de divergência e derivada temporal, obtemos
0 = nabla cdot J + partialpartial tl(nabla cdot Dr)

Passo 4

Substituindo nabla cdot D=rho (lei de Gauss), fica
0 = nabla cdot J + partial rhopartial t,
que é justamente a equação de continuidade da carga elétrica.

Resposta

nabla cdot J + partial rhopartial t = 0

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