A partir das equações de Maxwell, obtenha a equação da continuidade
que representa a lei da conservação da carga elétrica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, a partir das equações de Maxwell, se obtém a equação de continuidade
que expressa a conservação da carga elétrica. Vamos usar duas equações de Maxwell no material (em forma macroscópica):
- A lei de Ampère–Maxwell:
- A lei de Gauss para o campo elétrico (densidade de carga):
Também precisaremos da identidade vetorial
.
Passo 2
Aplique o operador divergência à lei de Ampère–Maxwell:
Passo 3
Pela identidade vetorial
e trocando a ordem de divergência e derivada temporal, obtemos
Passo 4
Substituindo
(lei de Gauss), fica
que é justamente a equação de continuidade da carga elétrica.