Q18) Dava uma semi asa com envergadura 10 m e nela tinha um carregamento variável para cima na forma q(x)=6000 x-300 x^{2}, e dois carregamentos pontuais pra baixo de 2 kN e 8 kN onde ficariam os motores. Pedia-se os valores de esforço cortante e momento fletor na raiz. A carga de 2 kN dista 6 m da raiz e 4 m da origem cartesiana, e a carga de 8 kN dista 3 m do ponto na raiz.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma semi-asa de comprimento total L=10,m (medido do bordo de ataque até a raiz), sujeita a uma carga distribuída para cima
q(x)=6000\,x-300\,x^2\quad\text{(N/m)}
definida em 0\le x\le10, onde x=0 fica no bordo de ataque e x=10 na raiz. Há dois carregamentos pontuais para baixo: P_1=2,kN em x=4,m e P_2=8,kN em x=7,m. O objetivo é achar o esforço cortante V e o momento fletor M na raiz x=10. Vamos usar equilíbrio de forças verticais para V e de momentos em torno da raiz para M, além de integrar q(x) para obter sua resultante e seu braço de momento.

Passo 2

Calcular a resultante da carga distribuída \displaystyle Q_d=\int_{0}^{10}q(x)\,dx.
Q_d=\int_{0}^{10}(6000\,x-300\,x^2)\,dx =6000\frac{10^2}{2}-300\frac{10^3}{3} =300000-100000 =200000\\ \text{N}
Logo Q_d=200,kN atuando para cima.

Passo 3

Usar equilíbrio de forças verticais em toda a asa (positivas para cima):
V_{\text{raiz}} + Q_d - P_1 - P_2 =0
Substituindo Q_d=200\,000,N, P_1=2000,N e P_2=8000,N,
V_{\text{raiz}} = P_1+P_2 - Q_d = (2000+8000)-200000 =-190000\\ \text{N}.
Portanto o esforço cortante na raiz é
V_{\text{raiz}}=-190\,\text{kN},
isto é, 190,kN apontando para baixo (sinal negativo na convenção adotada).

Passo 4

Calcular o momento devido à carga distribuída em torno da raiz:
M_d =\int_{0}^{10}q(x)\,(10 - x)\,dx.
Expandindo o integrando e integrando, obtém-se
M_d =\int_{0}^{10}\bigl(60000x -9000x^2 +300x^3\bigr)\,dx =3\,000\,000 -3\,000\,000 +750\,000 =750\,000\\ \text{N\cdotm}.

Passo 5

Usar equilíbrio de momentos em torno da raiz (positivos no sentido de fletir para cima):
M_{\text{raiz}} - M_d + P_1(10-4) + P_2(10-7) =0.
Aqui P_1 e P_2 tendem a fletir no mesmo sentido de M_d? Na equação já somamos seus momentos positivos:
M_{\text{raiz}} = M_d - P_1\cdot6 - P_2\cdot3 =750000 - 2000\cdot6 - 8000\cdot3 =750000 -12000 -24000 =714000\\ \text{N\cdotm}.

Resposta

Esforço cortante na raiz: V_{\text{raiz}}=-190\,\text{kN} (190 kN para baixo).
Momento fletor na raiz: M_{\text{raiz}}=714\,\text{kN\cdotm}.

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