Prove que o campo de forças a seguir é conservativo e determine a energia potencial a ele associada. Escreva a força e a energia potencial em coordenadas esféricas.
F: R^3 /(0,0,0) R^3 F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^32 x+y(x^2+y^2+z^2)^32 y+z(x^2+y^2+z^2)^32 z

Passo 1

Beleza! Então, o exercício pede para a gente provar que um campo de forças específico é conservativo e, depois, encontrar a energia potencial associada a ele, tudo isso usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo, como calcular o rotacional desse campo e saber trabalhar com coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de forças conservativo. Um campo de forças é conservativo se o trabalho realizado por ele não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Em termos matemáticos, isso significa que o rotacional (ou curl) do campo de forças é zero.

Passo 3

Então, para provar que o campo dado é conservativo, precisamos calcular o rotacional de F e mostrar que ele é igual a zero. Vamos começar escrevendo o campo de forças:
F(x, y, z) = x(x^2+y^2+z^2)^32 x + y(x^2+y^2+z^2)^32 y + z(x^2+y^2+z^2)^32 z

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) x + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) y + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) z

Passo 5

Vamos calcular cada componente:
  1. Componente x:
partial Fzpartial y = partialpartial y ( z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3zy(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
partial Fypartial z = partialpartial z ( y(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3yz(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Então,
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = -3zy(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 - ( -3yz(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 ) = 0
  1. Componente y:
De forma similar,
partial Fxpartial z = partialpartial z ( x(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3xz(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
partial Fzpartial x = partialpartial x ( z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3xz(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Então,
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = -3xz(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 - ( -3xz(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 ) = 0
  1. Componente z:
E mais uma vez,
partial Fypartial x = partialpartial x ( y(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3xy(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
partial Fxpartial y = partialpartial y ( x(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3xy(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Então,
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = -3xy(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 - ( -3xy(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 ) = 0

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que:
nabla times F = 0
Portanto, o campo de forças F é conservativo.

Passo 7

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a energia potencial associada a ele. Sabemos que, para campos conservativos, existe uma função escalar $ U $ tal que:
U
Vamos trabalhar em coordenadas esféricas, onde as coordenadas são $ (r, \theta, \phi) $. Em coordenadas esféricas, o gradiente é:
F = -nabla U

Passo 8

Observando o campo F, ele só tem componente radial quando expressado em coordenadas esféricas. Então, podemos supor que $ U $ depende apenas de $ r $. Assim, as derivadas parciais em $ \theta $ e $ \phi $ serão zero, simplificando o gradiente para:
U
Então,
r

Passo 9

Comparando com o campo dado, em coordenadas esféricas, a força radial $ F_r $ é:
Fr
Então,
Fr = rr^3 = 1r^2

Passo 10

Integrando ambos os lados em relação a $ r $:
r
integral 1r^2 dr = -integral partial Upartial r dr
Podemos absorver as constantes, então:
-1r + C = -U + C'

Resposta

O campo de forças é conservativo e a energia potencial associada a ele em coordenadas esféricas é:
U(r) = 1r + C
Onde $ C $ é uma constante de integração que pode ser definida de acordo com as condições do problema.

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