Prove que o campo de forças a seguir é conservativo e determine a energia potencial a ele associada. Escreva a força e a energia potencial em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza! Então, o exercício pede para a gente provar que um campo de forças específico é conservativo e, depois, encontrar a energia potencial associada a ele, tudo isso usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo, como calcular o rotacional desse campo e saber trabalhar com coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de forças conservativo. Um campo de forças é conservativo se o trabalho realizado por ele não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Em termos matemáticos, isso significa que o rotacional (ou curl) do campo de forças é zero.
Passo 3
Então, para provar que o campo dado é conservativo, precisamos calcular o rotacional de F e mostrar que ele é igual a zero. Vamos começar escrevendo o campo de forças:
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Passo 5
Vamos calcular cada componente:
- Componente x:
Então,
- Componente y:
De forma similar,
Então,
- Componente z:
E mais uma vez,
Então,
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que:
Portanto, o campo de forças F é conservativo.
Passo 7
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a energia potencial associada a ele. Sabemos que, para campos conservativos, existe uma função escalar $ U $ tal que:
Vamos trabalhar em coordenadas esféricas, onde as coordenadas são $ (r, \theta, \phi) $. Em coordenadas esféricas, o gradiente é:
Passo 8
Observando o campo F, ele só tem componente radial quando expressado em coordenadas esféricas. Então, podemos supor que $ U $ depende apenas de $ r $. Assim, as derivadas parciais em $ \theta $ e $ \phi $ serão zero, simplificando o gradiente para:
Então,
Passo 9
Comparando com o campo dado, em coordenadas esféricas, a força radial $ F_r $ é:
Então,
Passo 10
Integrando ambos os lados em relação a $ r $:
Podemos absorver as constantes, então:
Resposta
O campo de forças é conservativo e a energia potencial associada a ele em coordenadas esféricas é:
Onde $ C $ é uma constante de integração que pode ser definida de acordo com as condições do problema.