- Mede-se a velocıdade
de propagaçao de ondas transversais num to com uma extremidade presa a uma parede. O fio é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade por meio de uma polia. Depois, mergulha-se o bloco na água até os
da altura e verifica-se que a velocidade de propagação cai para
da anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a densidade do bloco em relação à água (ou seja, encontrar
).
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem / do enunciado):
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem / do enunciado):
- O bloco fica suspenso e estica o fio; depois o bloco é mergulhado até
da sua altura (peguei a fração da imagem). - Ao mergulhar até
da altura, a velocidade de propagação das ondas no fio cai para do valor anterior (peguei da figura/enunciado). - Pressupostos físicos implícitos (aceitos aqui): aceleração da gravidade
é a mesma antes e depois, e a massa e a massa linear do fio não mudam.
Passo 2
Qual fórmula relaciona velocidade de onda em um fio tenso com a tensão?
- Para ondas transversais em um fio/corda ideal, a velocidade
vale
onde:
-
é a tensão no fio (força que o estica, em newtons); -
é a massa por unidade de comprimento do fio (densidade linear, em ).
Explicação curta do porquê: a velocidade aumenta se a tensão aumenta e diminui se a massa por comprimento aumenta; a dependência é em raiz quadrada porque a equação das pequenas oscilações resultantes leva a uma relação. Não precisamos derivar aqui passo a passo para a prova, só saber usar a fórmula com atenção ao que muda (aqui só muda ).
Passo 3
Relacionando velocidades antes e depois do mergulho.
- Chame
a velocidade inicial (bloco no ar) e a velocidade com o bloco mergulhado até . - Como
do fio não muda, temos
onde
é a tensão inicial e
a tensão com o bloco parcialmente submerso.
- Pegando o dado da imagem/enunciado:
(porque ). Então
Passo 4
Expressar
e
em termos das densidades.
- Seja
o volume do bloco e sua densidade. A massa do bloco é . - Força peso do bloco:
. Essa é a tensão inicial no fio (não há empuxo quando está totalmente fora da água), então
- Ao mergulhar até
da altura, o empuxo de Arquimedes vale . Como o volume submerso é (peguei da imagem), temos
- A tensão no fio então é o peso menos o empuxo:
Passo 5
Colocar tudo junto e resolver para
.
- A razão das tensões é
- Igualando à razão de velocidades ao quadrado (do Passo 3):
- Calcular
:
- Portanto
- Invertendo para obter a razão pedida:
Passo 6
Arredondamento, interpretação e incentivo.
- Arredondando com três cifras significativas:
- Interpretação rápida: o bloco é muito mais denso que a água (uns 7,6 vezes), por isso o empuxo ao submergir 2/3 do volume só reduz a tensão um pouco e a velocidade cai para
. Boa — você já viu os conceitos principais aqui (velocidade em corda, tensão, empuxo) e colocou tudo junto. Força na cabeça: siga esse roteiro na prova que dá certo!