1. Mede-se a velocıdade v de propagaçao de ondas transversais num to com uma extremidade presa a uma parede. O fio é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade por meio de uma polia. Depois, mergulha-se o bloco na água até os 2 / 3 da altura e verifica-se que a velocidade de propagação cai para 95,5 \% da anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a densidade do bloco em relação à água (ou seja, encontrar \dfrac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}}á).
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem / do enunciado):
  • O bloco fica suspenso e estica o fio; depois o bloco é mergulhado até \dfrac{2}{3} da sua altura (peguei a fração \dfrac{2}{3} da imagem).
  • Ao mergulhar até \dfrac{2}{3} da altura, a velocidade de propagação das ondas no fio cai para 95,5\% do valor anterior (peguei 95,5\% da figura/enunciado).
  • Pressupostos físicos implícitos (aceitos aqui): aceleração da gravidade g é a mesma antes e depois, e a massa e a massa linear do fio não mudam.

Passo 2

Qual fórmula relaciona velocidade de onda em um fio tenso com a tensão?
  • Para ondas transversais em um fio/corda ideal, a velocidade v vale
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde:
  • T é a tensão no fio (força que o estica, em newtons);
  • \mu é a massa por unidade de comprimento do fio (densidade linear, em \mathrm{kg/m}).
    Explicação curta do porquê: a velocidade aumenta se a tensão aumenta e diminui se a massa por comprimento aumenta; a dependência é em raiz quadrada porque a equação das pequenas oscilações resultantes leva a uma relação v^2=T/\mu. Não precisamos derivar aqui passo a passo para a prova, só saber usar a fórmula com atenção ao que muda (aqui só muda T).

Passo 3

Relacionando velocidades antes e depois do mergulho.
  • Chame v_0 a velocidade inicial (bloco no ar) e v_1 a velocidade com o bloco mergulhado até \dfrac{2}{3}.
  • Como \mu do fio não muda, temos
\left(\dfrac{v_1}{v_0}\right)^2=\dfrac{T_1}{T_0},
onde T_0 é a tensão inicial e T_1 a tensão com o bloco parcialmente submerso.
  • Pegando o dado da imagem/enunciado: v_1=0,955\,v_0 (porque 95,5\%=0,955). Então
\left(0,955\right)^2=\dfrac{T_1}{T_0}.

Passo 4

Expressar T_0 e T_1 em termos das densidades.
  • Seja V o volume do bloco e \rho_{\text{bloco}} sua densidade. A massa do bloco é m=\rho_{\text{bloco}}V.
  • Força peso do bloco: mg=\rho_{\text{bloco}}Vg. Essa é a tensão inicial no fio (não há empuxo quando está totalmente fora da água), então
T_0=\rho_{\text{bloco}}Vg.
  • Ao mergulhar até \dfrac{2}{3} da altura, o empuxo de Arquimedes vale F_b=\rho_{\text{água}}V_{\text{sub}}gá. Como o volume submerso é \dfrac{2}{3}V (peguei \dfrac{2}{3} da imagem), temos
F_b=\rho_{\text{água}}\left(\dfrac{2}{3}V\right)g.á
  • A tensão no fio então é o peso menos o empuxo:
T_1=\rho_{\text{bloco}}Vg-\rho_{\text{água}}\left(\dfrac{2}{3}V\right)g =Vg\!\left(\rho_{\text{bloco}}-\dfrac{2}{3}\rho_{\text{água}}\right).áá

Passo 5

Colocar tudo junto e resolver para \dfrac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}}á.
  • A razão das tensões é
\dfrac{T_1}{T_0}=\dfrac{Vg\!\left(\rho_{\text{bloco}}-\dfrac{2}{3}\rho_{\text{água}}\right)}{\rho_{\text{bloco}}Vg} =1-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{bloco}}}.áá
  • Igualando à razão de velocidades ao quadrado (do Passo 3):
1-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{bloco}}}=\left(0,955\right)^2.á
  • Calcular \left(0,955\right)^2:
\left(0,955\right)^2=0,912025.
  • Portanto
1-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{bloco}}}=0,912025á
\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{bloco}}}=1-0,912025=0,087975á
\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{bloco}}}=0,087975\cdot\dfrac{3}{2}=0,1319625.á
  • Invertendo para obter a razão pedida:
\dfrac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}}=\dfrac{1}{0,1319625\!}\approx 7,576\ldotsá

Passo 6

Arredondamento, interpretação e incentivo.
  • Arredondando com três cifras significativas:
\dfrac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}}\approx 7,58.á
  • Interpretação rápida: o bloco é muito mais denso que a água (uns 7,6 vezes), por isso o empuxo ao submergir 2/3 do volume só reduz a tensão um pouco e a velocidade cai para 95,5\%. Boa — você já viu os conceitos principais aqui (velocidade em corda, tensão, empuxo) e colocou tudo junto. Força na cabeça: siga esse roteiro na prova que dá certo!

Resposta

\dfrac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}}\approx 7,58á

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