1. Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v_{0}. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68 \mathrm{~m}, após um segundo.
(a) Qual é o valor de v_{0} ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo foi extraído do enunciado):
  • Um oscilador é criticamente amortecido.
  • Parte da posição de equilíbrio, portanto a condição inicial de posição é \;x(0)=0\;.
  • Recebe um impulso que lhe dá velocidade inicial \;v_0\;, isto é \;x'(0)=v_0\;.
  • Verifica-se que ele atinge seu deslocamento máximo igual a \;3,68\\ \mathrm{m}\; no instante \;t=1\\ \mathrm{s}\;.
O enunciado pede:
(a) Determinar o valor de \;v_0\;.

Passo 2

Escrevendo a solução geral para um oscilador criticamente amortecido e explicando cada termo.
A equação do movimento do oscilador amortecido é
m\,x'' + c\,x' + k\,x = 0,
onde \;m\; é a massa, \;c\; é o coeficiente de amortecimento e \;k\; é a constante elástica. O amortecimento é crítico quando \;c = 2\sqrt{km}\;. Nesse caso a solução geral (modo crítico) tem a forma
x(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-\omega_0 t},
onde explique cada símbolo:
  • \;C_1, C_2\; são constantes determinadas pelas condições iniciais;
  • \;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\; é a frequência natural do sistema sem amortecimento;
  • o fator exponencial \;e^{-\omega_0 t}\; representa a atenuação devido ao amortecimento (no caso crítico a taxa de decaimento é exatamente \omega_0).
Essa forma vem da resolução da equação diferencial quando as raízes da equação característica degeneram (raiz dupla).

Passo 3

Aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes C_1 e C_2, mostrando passo a passo.
A condição de posição inicial é \;x(0)=0\;. Substituindo t=0 na solução geral:
x(0) = (C_1 + C_2\cdot 0)\,e^{-\omega_0\cdot 0} = C_1 = 0.
Logo \;C_1=0.
Agora a solução simplificada é
x(t) = C_2\,t\,e^{-\omega_0 t}.
A condição de velocidade inicial é \;x'(0)=v_0\;. Vamos derivar x(t). Usando regra do produto e exponencial:
x'(t) = C_2\,e^{-\omega_0 t} + C_2\,t\left(-\omega_0 e^{-\omega_0 t}\right) = C_2\,(1-\omega_0 t)\,e^{-\omega_0 t}.
Em t=0:
x'(0) = C_2\cdot(1-0)\cdot e^{0} = C_2.
Portanto \;C_2 = v_0\;. Concluímos que a solução, com as condições iniciais, é
x(t) = v_0\,t\,e^{-\omega_0 t}.

Passo 4

Usar a informação de que o deslocamento em t=1\\ \mathrm{s} é máximo e vale 3,68\\ \mathrm{m}. Traduzir isso em equações e resolver para \omega_0.
Para que x(t) seja máximo em t=1\\ \mathrm{s} é necessário que a derivada seja zero nesse instante:
x'(t) = v_0\,(1-\omega_0 t)\,e^{-\omega_0 t} = 0.
Como \;v_0\neq 0\; (o impulso deu velocidade) e \;e^{-\omega_0 t}\neq 0\; para todo t, temos a condição
1-\omega_0 t = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{t}.
Substituindo t=1\\ \mathrm{s}:
\omega_0 = \frac{1}{1\\ \mathrm{s}} = 1\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Usar \omega_0=1\\ \mathrm{rad/s} na expressão de x(t) para obter v_0 a partir de x(1)=3,68\\ \mathrm{m}.
A expressão para x(1) é
x(1) = v_0\cdot 1 \cdot e^{-\omega_0\cdot 1} = v_0\,e^{-\omega_0}.
Com \omega_0=1 e x(1)=3,68\\ \mathrm{m} obtemos
3,68 = v_0\,e^{-1}.
Isolando v_0:
v_0 = 3,68\,e^{1} = 3,68\,e.
Agora calcular numericamente. Usando e\approx 2,718281828\ldots,
v_0 \approx 3,68 \times 2,718281828 \approx 10,00\\ \mathrm{m/s}.
(Se preferir maior precisão: v_0 \approx 10,0033\\ \mathrm{m/s}.)

Resposta

v_0 = 3,68\,e\\ \mathrm{m/s} \approx 10,00\\ \mathrm{m/s}

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