- Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial
. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a
, após um segundo.
(a) Qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo foi extraído do enunciado):
- Um oscilador é criticamente amortecido.
- Parte da posição de equilíbrio, portanto a condição inicial de posição é
. - Recebe um impulso que lhe dá velocidade inicial
, isto é . - Verifica-se que ele atinge seu deslocamento máximo igual a
no instante .
O enunciado pede:
(a) Determinar o valor de .
(a) Determinar o valor de
Passo 2
Escrevendo a solução geral para um oscilador criticamente amortecido e explicando cada termo.
A equação do movimento do oscilador amortecido é
onde
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento e
é a constante elástica. O amortecimento é crítico quando
. Nesse caso a solução geral (modo crítico) tem a forma
onde explique cada símbolo:
-
são constantes determinadas pelas condições iniciais; -
é a frequência natural do sistema sem amortecimento; - o fator exponencial
representa a atenuação devido ao amortecimento (no caso crítico a taxa de decaimento é exatamente ).
Essa forma vem da resolução da equação diferencial quando as raízes da equação característica degeneram (raiz dupla).
Passo 3
Aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
, mostrando passo a passo.
A condição de posição inicial é
. Substituindo
na solução geral:
Logo
.
Agora a solução simplificada é
A condição de velocidade inicial é
. Vamos derivar
. Usando regra do produto e exponencial:
Em
:
Portanto
. Concluímos que a solução, com as condições iniciais, é
Passo 4
Usar a informação de que o deslocamento em
é máximo e vale
. Traduzir isso em equações e resolver para
.
Para que
seja máximo em
é necessário que a derivada seja zero nesse instante:
Como
(o impulso deu velocidade) e
para todo
, temos a condição
Substituindo
:
Passo 5
Usar
na expressão de
para obter
a partir de
.
A expressão para
é
Com
e
obtemos
Isolando
:
Agora calcular numericamente. Usando
,
(Se preferir maior precisão:
.)