A média das notas de uma turma de crianças foi 8,50 . A média dos meninos foi 8,70 e a das meninas foi 8,15 . Se o número de crianças da turma está entre 30 e 40 , qual no número de meninos na turma?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 21

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • A média das notas da turma inteira é \,8,50.
  • A média dos meninos é \,8,70.
  • A média das meninas é \,8,15.
  • O número total de crianças da turma está entre 30 e 40.
  • Pergunta: qual é o número de meninos na turma? (opções: 17,\,18,\,19,\,21).

Passo 2

Vamos traduzir o problema para variáveis — isso facilita e é a forma mais segura de resolver na prova.
  • Seja n o número total de crianças da turma.
  • Seja b o número de meninos.
  • Então o número de meninas é n-b.
Agora uma ideia-chave (aula rápida): a média é a soma das notas dividida pelo número de alunos. Se a média da turma é \,8,50, então a soma total das notas da turma é \,8,50\cdot n. Da mesma forma, a soma das notas dos meninos é \,8,70\cdot b e a soma das meninas é \,8,15\cdot(n-b). Como a soma total é a soma das duas partes, montamos a equação de média ponderada:
8,50\,n = 8,70\,b + 8,15\,(n-b)

Passo 3

Vamos desenvolver essa equação passo a passo (não se assuste com os decimais — é só prestar atenção nas subtrações):
Primeiro expandimos o lado direito:
8,70\,b + 8,15\,(n-b) = 8,70\,b + 8,15\,n - 8,15\,b.
Agrupando os termos com b:
8,70\,b - 8,15\,b = 0,55\,b.
Então a equação vira:
8,50\,n = 8,15\,n + 0,55\,b.
Agora subtraímos 8,15\,n dos dois lados:
8,50\,n - 8,15\,n = 0,55\,b
que dá
0,35\,n = 0,55\,b.

Passo 4

Isolando b, temos:
b = \frac{0,35}{0,55}\,n.
Multiplicando numerador e denominador por 100 para evitar casas decimais:
b = \frac{35}{55}\,n.
Simplificando a fração dividindo por 5:
b = \frac{7}{11}\,n.
Interpretação importante (dica de prova): b é inteiro, logo \frac{7}{11}n deve ser inteiro. Como \gcd(7,11)=1, isso só ocorre quando n é múltiplo de 11.

Passo 5

Usamos a restrição do enunciado: n está entre 30 e 40. Os múltiplos de 11 próximos são 11,\,22,\,33,\,44,\ldots. O único que cai no intervalo 30 a 40 é 33. Logo n=33.
Substituindo em b=\dfrac{7}{11}n:
b = \frac{7}{11}\cdot 33 = 7\cdot 3 = 21.
Verificação rápida (pra ficar sossegado): soma dos meninos =8,70\cdot 21=182,7. Soma das meninas (há 33-21=12 meninas) =8,15\cdot 12=97,8. Soma total =182,7+97,8=280,5. Média =280,5/33=8,50

Resposta

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