Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é:
A) 72
B) 36
C) 35
D) 64

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números de dois dígitos, com dígitos distintos e não nulos, são “bonitos”, isto é, o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. Informações relevantes dadas:
  • Os dígitos são não nulos, portanto pertencem ao conjunto \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
  • Os dois dígitos são distintos.
  • O número tem dois dígitos (logo o dígito das dezenas não pode ser zero).
  • Condição de beleza: dígito das dezenas > dígito das unidades.
    Precisamos contar quantos pares ordenados (a,b) existem com a,b\in\{1,\dots,9\}, a\neq b e a>b.

Passo 2

Estratégia escolhida: transformar o problema em contagem de pares (a,b) com a>b. Uma observação útil e simples: cada subconjunto de dois dígitos distintos \{x,y\} de \{1,\dots,9\} gera exatamente um par (a,b) com a>b (o maior colocado nas dezenas). Portanto o número de pares é igual ao número de modos de escolher 2 dígitos distintos dentre 9, isto é, o número de combinações \binom{9}{2}.

Passo 3

Vou explicar a fórmula de combinações usada: para escolher k elementos dentre n sem ordem (combinação), usamos
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. No nosso caso n=9 e k=2, então
\binom{9}{2}=\frac{9!}{2!\,7!}=\frac{9\cdot8}{2}=36.
Logo, pela interpretação combinatória, existem 36 números bonitos.

Passo 4

Verificação alternativa (modo construtivo, útil para prova sem memorização de fórmulas): para cada valor do dígito das dezenas a contamos quantos dígitos menores e não nulos podem ficar nas unidades. Se a=1 0 escolhas, se a=2 1 escolha, …, se a=9 8 escolhas. Somando:
0+1+2+\dots+8=\sum_{k=0}^{8}k=\frac{8\cdot9}{2}=36.
Isso confirma o resultado anterior. Pequena dica para a prova: esta soma triangular \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} é muito útil.

Resposta

B) 36

Exercícios relacionados