Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é:
A) 72
B) 36
C) 35
D) 64
A) 72
B) 36
C) 35
D) 64
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números de dois dígitos, com dígitos distintos e não nulos, são “bonitos”, isto é, o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. Informações relevantes dadas:
- Os dígitos são não nulos, portanto pertencem ao conjunto
. - Os dois dígitos são distintos.
- O número tem dois dígitos (logo o dígito das dezenas não pode ser zero).
- Condição de beleza: dígito das dezenas
dígito das unidades.
Precisamos contar quantos pares ordenadosexistem com , e .
Passo 2
Estratégia escolhida: transformar o problema em contagem de pares
com
. Uma observação útil e simples: cada subconjunto de dois dígitos distintos
de
gera exatamente um par
com
(o maior colocado nas dezenas). Portanto o número de pares é igual ao número de modos de escolher 2 dígitos distintos dentre 9, isto é, o número de combinações
.
Passo 3
Vou explicar a fórmula de combinações usada: para escolher
elementos dentre
sem ordem (combinação), usamos
onde
(fatorial de
) é
. No nosso caso
e
, então
Logo, pela interpretação combinatória, existem
números bonitos.
Passo 4
Verificação alternativa (modo construtivo, útil para prova sem memorização de fórmulas): para cada valor do dígito das dezenas
contamos quantos dígitos menores e não nulos podem ficar nas unidades. Se
há
escolhas, se
há
escolha, …, se
há
escolhas. Somando:
Isso confirma o resultado anterior. Pequena dica para a prova: esta soma triangular
é muito útil.
Resposta
B)