Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
Pelo menos três usará o serviço em uma hora qualquer?
Pelo menos três usará o serviço em uma hora qualquer?
Passo 1
O enunciado dá a média de utilização do caixa-automático e pede uma probabilidade:
- Informação dada: a média é de
pessoas por hora. - Pergunta: qual a probabilidade de que, em uma hora qualquer, “pelo menos três” pessoas usem o serviço?
Passo 2
Vamos escolher uma forma prática de modelar o número de chegadas em uma hora. Quando temos uma média de ocorrências por intervalo de tempo (aqui:
por hora) e as ocorrências são raras, independentes e distribuídas ao longo do tempo sem padrão periódico, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Vou explicar o porquê e a fórmula usada.
A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrerem exatamente
eventos num intervalo fixo quando a média é
. A fórmula da função massa de probabilidade é:
Aqui:
-
é a variável aleatória que conta o número de pessoas que usam o caixa em uma hora; -
é a média esperada no intervalo (aqui ); -
é o número de eventos (número de pessoas) cujo probabilidade queremos; -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ); -
é o fatorial de (por exemplo, ).
Dica para a prova: pedir “pelo menos três” é conciso se usarmos o complementar — calcular a probabilidade de ocorrer “no máximo dois” e subtrair de 1. Assim:
Passo 3
Calculemos
usando
:
Agora precisamos de um valor numérico para
. Sabendo que
, temos
Passo 4
Calculemos
:
Usando o valor de
do passo anterior:
Passo 5
Calculemos
:
Substituindo:
Passo 6
Somamos as probabilidades de
,
e
ocorrências:
Fazendo a soma:
Passo 7
Finalmente usamos o complementar para obter “pelo menos três”:
Arredondando para quatro casas decimais fica
, que corresponde a cerca de
.