Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
Pelo menos três usará o serviço em uma hora qualquer?

Passo 1

O enunciado dá a média de utilização do caixa-automático e pede uma probabilidade:
  • Informação dada: a média é de \,4 pessoas por hora.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, em uma hora qualquer, “pelo menos três” pessoas usem o serviço?

Passo 2

Vamos escolher uma forma prática de modelar o número de chegadas em uma hora. Quando temos uma média de ocorrências por intervalo de tempo (aqui: \,4 por hora) e as ocorrências são raras, independentes e distribuídas ao longo do tempo sem padrão periódico, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Vou explicar o porquê e a fórmula usada.
A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrerem exatamente \,k eventos num intervalo fixo quando a média é \lambda. A fórmula da função massa de probabilidade é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui:
  • \,X é a variável aleatória que conta o número de pessoas que usam o caixa em uma hora;
  • \,\lambda é a média esperada no intervalo (aqui \lambda=4);
  • \,k é o número de eventos (número de pessoas) cujo probabilidade queremos;
  • \,e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente \,2,71828);
  • \,k! é o fatorial de \,k (por exemplo, \,3! = 3\cdot2\cdot1 = 6).
Dica para a prova: pedir “pelo menos três” é conciso se usarmos o complementar — calcular a probabilidade de ocorrer “no máximo dois” e subtrair de 1. Assim:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).

Passo 3

Calculemos \,P(X=0) usando \lambda=4:
P(X=0)=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4}.
Agora precisamos de um valor numérico para e^{-4}. Sabendo que e^{4}\approx54{,}59815003, temos
e^{-4}=\frac{1}{e^{4}}\approx\frac{1}{54{,}59815003}\approx0{,}018315639.

Passo 4

Calculemos \,P(X=1):
P(X=1)=e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=4e^{-4}.
Usando o valor de e^{-4} do passo anterior:
P(X=1)\approx4\cdot0{,}018315639\approx0{,}073262556.

Passo 5

Calculemos \,P(X=2):
P(X=2)=e^{-4}\frac{4^{2}}{2!}=e^{-4}\frac{16}{2}=8e^{-4}.
Substituindo:
P(X=2)\approx8\cdot0{,}018315639\approx0{,}146525111.

Passo 6

Somamos as probabilidades de \,0, \,1 e \,2 ocorrências:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0{,}018315639+0{,}073262556+0{,}146525111.
Fazendo a soma:
P(X\le 2)\approx0{,}238103306.

Passo 7

Finalmente usamos o complementar para obter “pelo menos três”:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)\approx1-0{,}238103306\approx0{,}761896694.
Arredondando para quatro casas decimais fica \,0{,}7619, que corresponde a cerca de 76{,}19\%.

Resposta

\,0{,}7619

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