Suponha que determinado tratamento aplicado a portadores de certa patologia cure 90 \% dos casos. Qual a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a esse tratamento,
mais de nove tenham sido curados?

Passo 1

O enunciado informa que o tratamento cura 90\% dos casos. Pergunta-se a probabilidade de que, entre 10 indivíduos tratados, mais de nove tenham sido curados. Informações relevantes:
  • Probabilidade de cura por indivíduo: p=0,9.
  • Número de indivíduos: n=10.
  • Evento pedido: “mais de nove curados” significa X>9, onde X é o número de curados entre os 10.

Passo 2

Modelo que usamos: quando temos n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p em cada uma, o número de sucessos X segue a distribuição binomial. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas formas se podem escolher k sucessos entre n tentativas;
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem os k sucessos específicos;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade dos n-k insucessos restantes.

Passo 3

Interpretando o evento X>9 quando n=10: os únicos valores possíveis de X maiores que 9 são X=10. Logo
P(X>9)=P(X=10).

Passo 4

Aplicando a fórmula da binomial com n=10, k=10 e p=0,9:
P(X=10)=\binom{10}{10}\,0,9^{10}\,(1-0,9)^{0}.
Aqui \binom{10}{10}=1 e (1-0,9)^{0}=0,1^{0}=1, portanto
P(X=10)=0,9^{10}.

Passo 5

Calcular numericamente 0,9^{10}. Uma forma prática é usar potências por quadratura:
0,9^{2}=0,81, \qquad 0,9^{4}=0,81^{2}=0,6561,
0,9^{8}=0,6561^{2}=0,43046721, \qquad 0,9^{10}=0,9^{8}\cdot0,9^{2}=0,43046721\cdot0,81=0,3486784401.
Em porcentagem, isto é aproximadamente 34,8678\%.

Resposta

(0,9)^{10}\approx0,3486784401\approx34,8678\%

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