A mediana do número de aulas ministradas por 4 professores em uma determinada semana é igual a 5 . A amplitude do número de aulas ministradas pelos mesmos professores na semana é 6 . Determine se a declaração a seguir é, necessariamente, verdadeira. Caso não seja, dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • 4 professores (logo temos 4 números, a serem ordenados como a\le b\le c\le d).
  • A mediana do número de aulas ministradas é 5.
  • A amplitude (range) é 6.
O enunciado pede: determinar se “a declaração a seguir” é necessariamente verdadeira e, se não for, dar um contra-exemplo. Porém, a própria “declaração a seguir” não foi incluída na pergunta que recebi. Portanto falta a peça essencial: qual é a declaração que devo avaliar.

Passo 2

Vou traduzir matematicamente as condições dadas (para deixar claro o que elas implicam), já que isso vai ajudar a ver por que, sem a declaração, não dá para decidir.
  • Ordenando os números em a\le b\le c\le d, a mediana para 4 observações é a média dos dois valores centrais. Logo a condição “mediana igual a 5” significa
\frac{b+c}{2}=5 \quad\Rightarrow\quad b+c=10.
  • A amplitude (range) sendo 6 significa
d-a=6.

Passo 3

Comentário sobre domínio dos valores: como estamos falando de “número de aulas”, faz sentido assumir que cada valor é um número inteiro não negativo (ou pelo menos inteiro). Essa hipótese é natural e será usada nos contra-exemplos; se por algum motivo não for inteira, a ideia geral fica parecida, mas aqui trabalharemos com inteiros.

Passo 4

Analisando as duas equações e as desigualdades a\le b\le c\le d:
  • Temos liberdade: podemos escolher a (digamos a=t), então d=t+6. Depois precisamos de inteiros b e c com t\le b\le c\le t+6 e b+c=10.
  • Essa liberdade permite várias configurações diferentes que satisfazem simultaneamente mediana 5 e amplitude 6. Isso significa que propriedades adicionais (por exemplo, “algum professor deu exatamente 5 aulas”, ou “a média é 5”, etc.) podem ser verdadeiras em alguns conjuntos que satisfazem as condições e falsas em outros. Assim, sem saber qual é a declaração a avaliar, não há uma conclusão única.

Passo 5

Vou mostrar exemplos concretos (cada um satisfaz b+c=10 e d-a=6) para evidenciar a não unicidade das configurações.
Exemplos (todos são tuplas ordenadas (a,b,c,d)):
  • Exemplo A: (1,3,7,7).
    Verificações:
    \frac{b+c}{2}=\frac{3+7}{2}=5,\qquad d-a=7-1=6.
    Aqui NÃO existe nenhum professor com exatamente 5 aulas (os valores são 1,3,7,7).
  • Exemplo B: (0,5,5,6).
    Verificações:
    \frac{5+5}{2}=5,\qquad 6-0=6.
    Aqui HÁ dois professores com exatamente 5 aulas.
  • Exemplo C: (2,4,6,8).
    Verificações:
    \frac{4+6}{2}=5,\qquad 8-2=6.
    Aqui a média aritmética é \dfrac{2+4+6+8}{4}=5, ou seja, a média pode ser 5 em alguns casos.
  • Exemplo D: (0,4,6,6).
    Verificações:
    \frac{4+6}{2}=5,\qquad 6-0=6.
    Aqui também NÃO existe professor com exatamente 5 aulas.
Esses exemplos mostram claramente que diferentes afirmações adicionais podem ser verdadeiras ou falsas dependendo da escolha dos quatro números, sempre mantendo mediana 5 e amplitude 6.

Passo 6

Conclusão lógica a partir das observações: como as condições dadas ( b+c=10 e d-a=6) admitem múltiplas configurações possíveis com comportamentos diferentes, não é possível afirmar, sem conhecer qual é a “declaração a seguir”, que ela seja necessariamente verdadeira. Se a declaração fosse fornecida, eu poderia dizer se é sempre verdadeira (provando que vale para todas as configurações) ou falsificá‑la apresentando um contra‑exemplo como os acima.
Força aí — se você colar a declaração a ser avaliada eu já te digo, passo a passo, se é verdadeira e dou contra‑exemplo quando não for.

Resposta

Não é possível determinar: a declaração a ser avaliada não foi fornecida.

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