A mediana do número de aulas ministradas por 4 professores em uma determinada semana é igual a 5 . A amplitude do número de aulas ministradas pelos mesmos professores na semana é 6 . Determine se a declaração a seguir é, necessariamente, verdadeira. Caso não seja, dê um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Há
professores (logo temos números, a serem ordenados como ). - A mediana do número de aulas ministradas é
. - A amplitude (range) é
.
O enunciado pede: determinar se “a declaração a seguir” é necessariamente verdadeira e, se não for, dar um contra-exemplo. Porém, a própria “declaração a seguir” não foi incluída na pergunta que recebi. Portanto falta a peça essencial: qual é a declaração que devo avaliar.
Passo 2
Vou traduzir matematicamente as condições dadas (para deixar claro o que elas implicam), já que isso vai ajudar a ver por que, sem a declaração, não dá para decidir.
- Ordenando os números em
, a mediana para observações é a média dos dois valores centrais. Logo a condição “mediana igual a ” significa
- A amplitude (range) sendo
significa
Passo 3
Comentário sobre domínio dos valores: como estamos falando de “número de aulas”, faz sentido assumir que cada valor é um número inteiro não negativo (ou pelo menos inteiro). Essa hipótese é natural e será usada nos contra-exemplos; se por algum motivo não for inteira, a ideia geral fica parecida, mas aqui trabalharemos com inteiros.
Passo 4
Analisando as duas equações e as desigualdades
:
- Temos liberdade: podemos escolher
(digamos ), então . Depois precisamos de inteiros e com e . - Essa liberdade permite várias configurações diferentes que satisfazem simultaneamente mediana
e amplitude . Isso significa que propriedades adicionais (por exemplo, “algum professor deu exatamente aulas”, ou “a média é ”, etc.) podem ser verdadeiras em alguns conjuntos que satisfazem as condições e falsas em outros. Assim, sem saber qual é a declaração a avaliar, não há uma conclusão única.
Passo 5
Vou mostrar exemplos concretos (cada um satisfaz
e
) para evidenciar a não unicidade das configurações.
Exemplos (todos são tuplas ordenadas
):
-
Exemplo A:
.
Verificações:Aqui NÃO existe nenhum professor com exatamenteaulas (os valores são ). -
Exemplo B:
.
Verificações:Aqui HÁ dois professores com exatamenteaulas. -
Exemplo C:
.
Verificações:Aqui a média aritmética é, ou seja, a média pode ser em alguns casos. -
Exemplo D:
.
Verificações:Aqui também NÃO existe professor com exatamenteaulas.
Esses exemplos mostram claramente que diferentes afirmações adicionais podem ser verdadeiras ou falsas dependendo da escolha dos quatro números, sempre mantendo mediana
e amplitude
.
Passo 6
Conclusão lógica a partir das observações: como as condições dadas (
e
) admitem múltiplas configurações possíveis com comportamentos diferentes, não é possível afirmar, sem conhecer qual é a “declaração a seguir”, que ela seja necessariamente verdadeira. Se a declaração fosse fornecida, eu poderia dizer se é sempre verdadeira (provando que vale para todas as configurações) ou falsificá‑la apresentando um contra‑exemplo como os acima.
Força aí — se você colar a declaração a ser avaliada eu já te digo, passo a passo, se é verdadeira e dou contra‑exemplo quando não for.
Resposta
Não é possível determinar: a declaração a ser avaliada não foi fornecida.