Por meio de uma translação conveniente dos eixos, transforme as equações que seguem em equações do 2^circ grau, sem os termos do 1^circ grau:
b. 3 x^2+2 y^2+18 x-8 y+29=0
Resp.: 3 x^prime 2+2 y^prime 2-6=0

Passo 1

O enunciado pede para eliminar os termos lineares da cônica
3x^2+2y^2+18x-8y+29=0
através de uma translação de eixos. A técnica envolve completar quadrados nos termos de x e de y.

Passo 2

Agrupamos cada bloco quadrático com seu termo linear:
3(x^2+6x)+2(y^2-4y)+29=0
Em seguida, completamos quadrados:
x^2+6x=(x+3)^2-9
e
y^2-4y=(y-2)^2-4 .

Passo 3

Substituindo essas identidades na equação original:
3l((x+3)^2-9r)+2l((y-2)^2-4r)+29=0
Essa equação expande-se para
3(x+3)^2+2(y-2)^2-27-8+29=0
e simplifica-se a
3(x+3)^2+2(y-2)^2-6=0 .

Passo 4

Definimos a translação
x'=x+3, y'=y-2
de modo que (x+3)^2=(x')^2 e (y-2)^2=(y')^2. Assim, a cônica assume a forma
3x'^2+2y'^2-6=0 .

Resposta

3x'^2+2y'^2-6=0

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