Os pontos A(-1,2),B(3,1)e C(a,b) são colineares.Calcule a e b de modo que o ponto C esteja localizado sobre o eixo das abscissas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos: A(-1,2), B(3,1) e C(a,b). Eles estão alinhados em uma linha reta (colineares). A gente precisa encontrar os valores de a e b de forma que o ponto C esteja sobre o eixo das abscissas, ou seja, no eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a condição de colinearidade de pontos e a definição do eixo x.
Passo 2
Primeiro, já que o ponto C está no eixo das abscissas, isso significa que sua coordenada y é zero. Então, temos que b = 0.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que os três pontos A, B e C estejam na mesma linha reta. Para isso, podemos usar a condição de colinearidade, que diz que a inclinação entre A e B deve ser igual à inclinação entre A e C.
A fórmula da inclinação entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação entre A e B:
Passo 5
Agora, vamos calcular a inclinação entre A e C. Sabemos que b = 0, então:
Passo 6
Como os pontos são colineares, as inclinações devem ser iguais:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de a:
Multiplicando ambos os lados por $ a + 1 $:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
Os valores são a = 7 e b = 0, então o ponto C é $ C(7, 0) $.