4 Qual é a medida do apótema de um dodecágono cuja medida do lado é 300 cm ?
(Dado: \operatorname{tg} 75^{\circ}=3,7 )

Passo 1

O enunciado pede o apótema de um dodecágono regular (ou seja, n=12 lados) de lado s=300 cm. Para isso, vamos usar a relação entre apótema, lado e as razões trigonométricas num triângulo retângulo formado pelo centro do polígono, o ponto médio de um lado e um dos vértices.

Passo 2

O ângulo central de cada setor é
\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ,
e ao traçarmos a perpendicular do centro ao lado, obtemos um triângulo retângulo com ângulo na base de
\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ.
Nesse triângulo, o cateto oposto a 15^\circ vale metade do lado, isto é, 150 cm, e o cateto adjacente é justamente o apótema a.

Passo 3

Aplicando a definição de tangente no triângulo:
\tan 15^\circ = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{150}{a}.
Logo,
a = \frac{150}{\tan 15^\circ}.

Passo 4

Usamos que \tan 15^\circ = \cot 75^\circ = \tfrac{1}{\tan 75^\circ} e foi dado \tan 75^\circ = 3{,}7. Assim,
a = 150 \times \tan 75^\circ = 150 \times 3{,}7 = 555.

Resposta

555\text{ cm}

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