Use a diferencial para estimar o valor de y(x)=x ln (x) em x=1,1.

Passo 1

O enunciado pede para usar a diferencial (aproximação linear) de
y(x)=xln(x)
em torno de x0=1 para estimar y(1,1). O conteúdo envolvido é cálculo de derivada e aplicação da fórmula
y(x0+De<a x)approx y(x0)+y'(x0),De<a x

Passo 2

Calculamos a derivada de y(x). Usando regra do produto e derivada de ln(x), temos
y'(x)=ddxl(xln(x)r) =underbrace1cdotln(x)derivada de x+xcdot1x =ln(x)+1

Passo 3

Em x0=1 obtemos
y(1)=1cdotln(1)=0, y'(1)=ln(1)+1=0+1=1

Passo 4

Tomamos De<a x=1,1-1=0,1. A diferencial De<a y é
De<a yapprox y'(1),De<a x =1cdot0,1=0,1
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y(1,1)approx y(1)+De<a y=0+0,1=0,1

Resposta

y(1,1)approx0,1

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