A medida da temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da medida em graus Celsius.
(a) Escreva a equação dessa função f, sabendo que 0^{\circ} \mathrm{C} corresponde a 32^{\circ} \mathrm{F} (água no estado sólido) e 100^{\circ} \mathrm{C} correspondem a 212^{\circ} \mathrm{F} (água no estado gasoso).
(b) A partir de (a), converta 10^{\circ} \mathrm{C} em { }^{\circ} \mathrm{F} e 120^{\circ} \mathrm{F} em { }^{\circ} \mathrm{C}.
(c) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus Celsius. Precisamos então:
  1. Determinar a forma geral de uma função linear f(t)=at+b que passa por dois pontos (t_1,f_1) e (t_2,f_2).
  2. Usar (0,32) e (100,212) para achar a e b.
  3. Aplicar essa fórmula para converter 10^\circ\mathrm{C} em F e inverter a relação para converter 120^\circ\mathrm{F} em C.
  4. Esboçar a reta no plano t vs.\ f.

Passo 2

Para achar a função linear usamos a fórmula do coeficiente angular
a = \frac{f_2 - f_1}{t_2 - t_1}
com (t_1,f_1)=(0,32) e (t_2,f_2)=(100,212):
a = \frac{212-32}{100-0} = \frac{180}{100} = \frac{9}{5}.
O termo b é f(0), logo b=32. Portanto
f(t) = \frac{9}{5}\,t + 32.

Passo 3

Para converter 10^\circ\mathrm{C} em Fahrenheit basta calcular
f(10) = \frac{9}{5}\cdot 10 + 32 = 18 + 32 = 50.
Logo 10^\circ\mathrm{C} = 50^\circ\mathrm{F}.
Para converter 120^\circ\mathrm{F} em Celsius invertemos a fórmula:
t = \frac{5}{9}\,(f - 32).
Substituindo f=120
t = \frac{5}{9}\,(120 - 32) = \frac{5}{9}\cdot 88 = \frac{440}{9}\approx 48{,}9.
Logo 120^\circ\mathrm{F}\approx 48{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, coloque no eixo horizontal a temperatura em ^\circ\mathrm{C} e no eixo vertical a temperatura em ^\circ\mathrm{F}. Marque os pontos (0,32) e (100,212) e trace a reta que os une. Essa reta representa a função
f(t)=\frac{9}{5}\,t+32.

Resposta

(a)
f(t)=\frac{9}{5}\,t+32.
(b)
10^\circ\mathrm{C} = 50^\circ\mathrm{F},\quad 120^\circ\mathrm{F} \approx 48{,}9^\circ\mathrm{C}.
(c) Gráfico: reta no plano (t,f) passando por (0,32) e (100,212), conforme a equação \,f(t)=\frac{9}{5}t+32.

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