Questão 5.[2,00 pontos]
Calcule a integral \int \frac{2}{\sqrt{x^{2}-4 x+8}} dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2}{\sqrt{x^{2}-4x+8}}\;dx.
O conteúdo é integração de funções com radical quadrático; vamos completar o quadrado para reduzir ao tipo \displaystyle\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}}, cuja primitiva conhecemos.

Passo 2

Complete o quadrado no radicando:
x^2 -4x +8 = (x-2)^2 +4.
Dessa forma a integral fica
\int \frac{2}{\sqrt{(x-2)^2 +4}}\;dx.

Passo 3

Faça a mudança de variável
u = x-2, \quad du = dx.
Assim a integral passa a ser
2 \int \frac{du}{\sqrt{u^2 +2^2}}.

Passo 4

Use a fórmula padrão
\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C,
onde aqui a=2. Logo,
2 \int \frac{du}{\sqrt{u^2+2^2}} = 2\,\operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C.

Passo 5

Retornando à variável x com u=x-2, obtemos
2\,\operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{x-2}{2}\bigr) + C.

Resposta

2\,\operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{x-2}{2}\bigr) + C.

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