Medidas e Cálculo de incertezas - delta R
(2,0 pontos)
Em um circuito de corrente contínua, foi medida uma tensão de 9,80 \mathrm{~V} aplicada a um resistor que conduz uma corrente de 0,268 \mathrm{~A}. O multimetro utilizado tem as seguintes tabelas de calibração para suas funções voltimetro e amperímetro.
Faixa Resolução Precisão \pm ([% da Leitura] + [Contagens])
600 mV 0,1 \mathrm{mV} 0,5% + 2
6,000 \mathrm{~V} 0,001 \mathrm{~V} 0,5% + 2
60 V 0,01 \mathrm{~V}
600,0 \mathrm{~V} 0,1 \mathrm{~V}
Faixa Resolução Precisão \pm ([% da Leitura] + [Contagens])
6,000 \mathrm{~A} 0,001 \mathrm{~A} 1.0 \%+3
10.00 \mathrm{~A}^{[3]} 0.01 A
Qual é o valor, em ohm, da incerteza da resistência elétrica deste resistor, com dois algarismos significativos? Use vírgula como separador decimal.

Passo 1

O enunciado pede a incerteza absoluta da resistência elétrica medida para um resistor, dada a tensão e a corrente medidas e as tabelas de calibração do multímetro. Informações dadas no enunciado:
Tensão medida: V = 9,80\\ \mathrm{V}.
Corrente medida: I = 0,268\\ \mathrm{A}.
Tabela do voltímetro: precisão \pm(0,5\%\\ \text{da leitura} + 2\\ \text{contagens}) e faixas/resoluções: \,6{,}000\\ \mathrm{V} (resolução 0{,}001\\ \mathrm{V}), 60\\ \mathrm{V} (resolução 0{,}01\\ \mathrm{V}), 600{,}0\\ \mathrm{V} (resolução 0{,}1\\ \mathrm{V}).
Tabela do amperímetro: precisão \pm(1{,}0\%\\ \text{da leitura} + 3\\ \text{contagens}) e faixas/resoluções: \,6{,}000\\ \mathrm{A} (resolução 0{,}001\\ \mathrm{A}), 10{,}00\\ \mathrm{A} (resolução 0{,}01\\ \mathrm{A}).
O objetivo final: calcular a incerteza absoluta \Delta R da resistência R (onde R = V/I), e dar esse valor com dois algarismos significativos.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as incertezas de V e I, e depois propagar para \Delta R.

Passo 2

Escolher a faixa usada em cada medição (importante porque a resolução e as “contagens” dependem disso).
  • Para V = 9,80\\ \mathrm{V}: a faixa \,6{,}000\\ \mathrm{V} é insuficiente (limite 6,000 V), então usa-se a faixa 60\\ \mathrm{V} com resolução 0{,}01\\ \mathrm{V}. Portanto 1 contagem = 0{,}01\\ \mathrm{V}.
  • Para I = 0,268\\ \mathrm{A}: cabe na faixa \,6{,}000\\ \mathrm{A} (resolução 0{,}001\\ \mathrm{A}), então 1 contagem = 0{,}001\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Entender a forma como a precisão do instrumento dá a incerteza absoluta: a especificação \pm(p\%\\ \text{da leitura} + N\\ \text{contagens}) significa que a contribuição absoluta da parte percentual é p\% \times \text{leitura} e a contribuição das contagens é N vezes a resolução da faixa. Vamos calcular cada termo separadamente para V e I.

Passo 4

Calcular a incerteza absoluta da tensão \Delta V.
Percentual: 0{,}5\% da leitura:
0{,}5\% \times V = 0{,}005 \times 9{,}80 = 0{,}049\\ \mathrm{V}.
Contagens: 2 contagens na faixa 60\\ \mathrm{V} com resolução 0{,}01\\ \mathrm{V}
\text{contagens} = 2 \times 0{,}01\\ \mathrm{V} = 0{,}02\\ \mathrm{V}.
Somando (aditivo, como a especificação indica):
\Delta V = 0{,}049\\ \mathrm{V} + 0{,}02\\ \mathrm{V} = 0{,}069\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular a incerteza absoluta da corrente \Delta I.
Percentual: 1{,}0\% da leitura:
1{,}0\% \times I = 0{,}01 \times 0{,}268 = 0{,}00268\\ \mathrm{A}.
Contagens: 3 contagens na faixa \,6{,}000\\ \mathrm{A} com resolução 0{,}001\\ \mathrm{A}
\text{contagens} = 3 \times 0{,}001\\ \mathrm{A} = 0{,}003\\ \mathrm{A}.
Somando:
\Delta I = 0{,}00268\\ \mathrm{A} + 0{,}003\\ \mathrm{A} = 0{,}00568\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcular o valor nominal da resistência R:
R = \frac{V}{I} = \frac{9{,}80\\ \mathrm{V}}{0{,}268\\ \mathrm{A}}.
Fazendo a divisão:
R \approx 36{,}567\\ \Omega.
(Mantemos várias casas significativas aqui para usar no cálculo da incerteza; depois arredondamos a \Delta R com duas cifras significativas conforme pedido.)

Passo 7

Derivar e justificar a fórmula de propagação de incertezas para R = V/I.
Usando propagação linear por derivadas parciais (assumindo V e I independentes), a incerteza absoluta é
\Delta R = \sqrt{\left(\frac{\partial R}{\partial V}\Delta V\right)^2 + \left(\frac{\partial R}{\partial I}\Delta I\right)^2 }.
Como \displaystyle \frac{\partial R}{\partial V} = \frac{1}{I} e \displaystyle \frac{\partial R}{\partial I} = -\frac{V}{I^2}, obtemos
\Delta R = \sqrt{\left(\frac{\Delta V}{I}\right)^2 + \left(\frac{V\,\Delta I}{I^2}\right)^2 }.
Uma forma equivalente (muito usada para produtos/razões) é a forma em termos de incertezas relativas:
\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2 + \left(\frac{\Delta I}{I}\right)^2 }.
Ambas são algebraicamente equivalentes; eu vou usar a forma relativa porque é mais direta aqui.

Passo 8

Calcular as frações relativas e a \Delta R.
Frações relativas:
\frac{\Delta V}{V} = \frac{0{,}069}{9{,}80} \approx 0{,}0070408 \quad(\text{isto é }0{,}704\%).é
\frac{\Delta I}{I} = \frac{0{,}00568}{0{,}268} \approx 0{,}0211642 \quad(\text{isto é }2{,}116\%).é
Combinar:
\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{(0{,}0070408)^2 + (0{,}0211642)^2} \approx 0{,}022313.
Agora a incerteza absoluta:
\Delta R = R \times 0{,}022313 \approx 36{,}567 \times 0{,}022313 \approx 0{,}8156\\ \Omega.
Pediram a incerteza com dois algarismos significativos. Arredondando 0{,}8156 para dois dígitos significativos dá 0{,}82\\ \Omega. (Regra: dois algarismos significativos significa manter as duas primeiras cifras não-nulas. Aqui 0,82 tem duas cifras significativas.)

Resposta

\Delta R = 0,82\\ \Omega

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