A velocidade de uma partícula em movimento retilíneo foi medido como v=-2,0 t+4,0 t^3, em cm / s, A particula saiu da origem. Determine a velocidade máxima (ou mínima).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício onde a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo é dada por $ v = -2,0, t + 4,0, t^{3} $ em cm/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade máxima ou mínima dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar os pontos onde a velocidade atinge extremos (máximos ou mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade $ v(t) $ é uma função do tempo $ t $. Para encontrar os pontos onde essa velocidade é máxima ou mínima, precisamos encontrar onde a taxa de variação da velocidade (que é a aceleração) é zero. Isso significa que vamos derivar a função da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da velocidade $ v(t) $:
v(t)
Derivando em relação a $ t $:
v(t) = -2,0, t + 4,0, t^3

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a velocidade pode ter um máximo ou mínimo), igualamos a derivada a zero:
-2,0 + 12,0, t^2 = 0
Resolvendo para $ t $:
t

Passo 5

Agora que temos o valor de $ t $ onde pode ocorrer o extremo, vamos verificar se é um máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da função. Vamos calcular a segunda derivada:
t
Substituindo $ t = 0,408 $:
d^2vdt^2 = 24,0, t
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função $ v(t) $ tem um mínimo nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da velocidade nesse ponto de mínimo:
v(t) = -2,0, t + 4,0, t^3 v(0,408) = -2,0 times 0,408 + 4,0 times (0,408)^3 v(0,408) = -0,816 + 4,0 times 0,068 v(0,408) = -0,816 + 0,272 v(0,408) approx -0,544 cm/s

Resposta

A velocidade mínima da partícula é aproximadamente -0,544, cm/s ocorrendo no instante $ t \approx 0,408, segundos $.

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