A velocidade de uma partícula em movimento retilíneo foi medido como
, A particula saiu da origem. Determine a velocidade máxima (ou mínima).
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver o exercício onde a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo é dada por $ v = -2,0, t + 4,0, t^{3} $ em cm/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade máxima ou mínima dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar os pontos onde a velocidade atinge extremos (máximos ou mínimos).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade $ v(t) $ é uma função do tempo $ t $. Para encontrar os pontos onde essa velocidade é máxima ou mínima, precisamos encontrar onde a taxa de variação da velocidade (que é a aceleração) é zero. Isso significa que vamos derivar a função da velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da velocidade $ v(t) $:
Derivando em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a velocidade pode ter um máximo ou mínimo), igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para $ t $:
Passo 5
Agora que temos o valor de $ t $ onde pode ocorrer o extremo, vamos verificar se é um máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da função. Vamos calcular a segunda derivada:
Substituindo $ t = 0,408 $:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função $ v(t) $ tem um mínimo nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da velocidade nesse ponto de mínimo:
Resposta
A velocidade mínima da partícula é aproximadamente
ocorrendo no instante $ t \approx 0,408, segundos $.