[Médio] Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
12 x+21 y+9 z+15 w=9

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
12x+21y+9z+15w=9,
e esboçar geometricamente o conjunto das soluções.
Informações dadas: os coeficientes são 12,21,9,15 e o termo independente é 9. A variável procura-se em inteiros: x,y,z,w\in\mathbb{Z}. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro passo técnico importante: verificar se a equação tem solução inteira, usando o máximo divisor comum (mdc) dos coeficientes. Vou explicar o conceito: se temos uma equação a_1x_1+\dots+a_nx_n=b com inteiros, uma condição necessária (e aqui suficiente) para existir solução inteira é que \gcd(a_1,\dots,a_n) divida b. O \gcd é o maior inteiro que divide todos os coeficientes.
Calculo o \gcd dos coeficientes 12,21,9,15:
\gcd(12,21)=3,\quad \gcd(3,9)=3,\quad \gcd(3,15)=3.
Portanto \gcd(12,21,9,15)=3. Como 3 divide 9, a equação admite soluções inteiras. Podemos então dividir tudo por 3 para simplificar — isso não muda o conjunto de soluções inteiras, só facilita a conta.
Dividindo por 3 obtemos a equação equivalente
4x+7y+3z+5w=3.

Passo 3

Agora explico a ideia para resolver: temos uma equação linear em 4 incógnitas; o conjunto das soluções inteiras será uma família com três parâmetros inteiros (uma família afim de uma rede de posto 3). A técnica prática é isolar uma variável (por exemplo x) e impor a condição de divisibilidade que garante que a expressão seja inteira. Vou fazer isso passo a passo.
Isolando x da equação reduzida:
4x = 3 - 7y - 3z - 5w,
portanto
x = \frac{3 - 7y - 3z - 5w}{4}.
Para que x seja inteiro, o numerador precisa ser múltiplo de 4. Vou estudar essa condição usando aritmética modular (módulo 4).

Passo 4

Explico o que é aritmética modular: a congruência a\equiv b\pmod{4} significa que a-b é múltiplo de 4. Ao reduzir coeficientes módulo 4 fica mais fácil ver a condição de divisibilidade.
Reduzindo cada coeficiente módulo 4:
7\equiv 3\pmod{4},\qquad 3\equiv 3\pmod{4},\qquad 5\equiv 1\pmod{4}.
Então, o numerador satisfeito módulo 4
3-7y-3z-5w \equiv 3 - 3y - 3z - w \pmod{4}.
Agora note que -3\equiv 1\pmod{4}, então -3y\equiv y e -3z\equiv z. Assim
3 - 3y - 3z - w \equiv 3 + y + z - w \pmod{4}.
Queremos que isso seja congruente a 0 modulo 4. Logo
3 + y + z - w \equiv 0 \pmod{4},
o que é equivalente a
y+z-w \equiv 1 \pmod{4}.
Essa congruência é a condição necessária e suficiente sobre y,z,w para que x seja inteiro.

Passo 5

A partir da congruência y+z-w\equiv 1\pmod{4} podemos parametrizar w em função de y,z e de um parâmetro inteiro u. Uma escolha conveniente é escrever
w = y + z - 1 + 4u,
onde u\in\mathbb{Z}. Esta forma garante automaticamente y+z-w = 1-4u\equiv 1\pmod{4}, então a condição modular fica satisfeita.
Agora substituo essa expressão de w na fórmula para x. Parto de
4x = 3 - 7y - 3z - 5w,
substituo w=y+z-1+4u e calculo passo a passo:
5w = 5(y+z-1+4u) = 5y+5z-5+20u.
Então
4x = 3 - 7y - 3z - (5y+5z-5+20u).
Reagrupando termos:
4x = 3 -7y -3z -5y -5z +5 -20u = 8 -12y -8z -20u.
Factorizando 4:
4x = 4(2 - 3y - 2z - 5u).
Dividindo por 4 obtemos finalmente
x = 2 - 3y - 2z - 5u.

Passo 6

Agora temos uma parametrização inteira explícita. Para ficar mais claro, renomeio y,z,u\) por parâmetros livres \(s,t,u\in\mathbb{Z}\) (são três parâmetros independentes inteiros). Assim posso escrever todas as soluções inteiras como \[\begin{cases} y = s,\\[4pt] z = t,\\[4pt] w = s + t - 1 + 4u,\\[4pt] x = 2 - 3s - 2t - 5u, \end{cases} \qquad\text{com }s,t,u\in\mathbb{Z}.
Explico: escolhemos arbitrariamente quaisquer inteiros s,t,u\]; então \(y,z,w,x definidos por essas fórmulas satisfazem a equação e cobrem todas as soluções inteiras (porque deduzimos a parametrização a partir da condição necessária e suficiente).]

Passo 7

É útil também apresentar a solução na forma “vetor particular + combinação linear inteira das soluções do homogêneo”. Encontramos uma solução particular (por exemplo tomando s=t=u=0):
(x,y,z,w)=(2,0,0,-1)
verifica 4\cdot 2 + 7\cdot 0 + 3\cdot 0 + 5\cdot(-1)=3. As direções que preservam a soma (ou seja, as soluções da equação homogênea 4x+7y+3z+5w=0) são dadas pelos vetores obtidos variando s,t,u separadamente:
  • para s=1,t=0,u=0 o incremento é (-3,1,0,1),
  • para s=0,t=1,u=0 o incremento é (-2,0,1,1),
  • para s=0,t=0,u=1 o incremento é (-5,0,0,4).
Logo a solução geral pode também ser escrita como
(x,y,z,w)=(2,0,0,-1)+s(-3,1,0,1)+t(-2,0,1,1)+u(-5,0,0,4), \qquad s,t,u\in\mathbb{Z}.
Verifique: cada um desses três vetores satisfaz a equação homogênea (multiplicando os componentes pelos coeficientes e somando dá zero), e combinando-os com a solução particular obtemos exatamente a parametrização anterior.

Passo 8

Esboço geométrico / interpretação: em \mathbb{R}^4 a equação linear
12x+21y+9z+15w=9
define um hiperplano afim de dimensão 3 (o vetor normal é (12,21,9,15)). A interseção desse hiperplano com a rede inteira \mathbb{Z}^4 é um subconjunto do tipo "translação de uma rede de posto 3": uma rede tridimensional discreta (uma cópia de \mathbb{Z}^3) embutida no hiperplano. A parametrização dada por s,t,u\mapsto (x,y,z,w) é um isomorfismo de redes entre \mathbb{Z}^3 e o conjunto de soluções inteiras: cada ponto inteiro do hiperplano corresponde a um triplo (s,t,u)\in\mathbb{Z}^3. Geometricamente, você pode imaginar uma “folha tridimensional” cortando o espaço \mathbb{R}^4, e sobre essa folha estão marcados pontos em padrão de rede regular (gerado pelos três vetores inteiros dados).

Passo 9

Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: para s=1,t=0,u=0 temos
(x,y,z,w)=(2,0,0,-1)+1(-3,1,0,1)=(-1,1,0,0).
Verificando na equação original:
12(-1)+21(1)+9(0)+15(0)= -12+21=9,
funciona. Outro exemplo: s=0,t=1,u=0 (0,0,1,0) que também satisfaz 12\cdot0+21\cdot0+9\cdot1+15\cdot0=9.

Resposta

Todas as soluções inteiras são, para quaisquer s,t,u\in\mathbb{Z},
\begin{cases} x = 2 - 3s - 2t - 5u,\\[4pt] y = s,\\[4pt] z = t,\\[4pt] w = s + t - 1 + 4u. \end{cases}
Equivalente em forma vetorial:
(x,y,z,w)=(2,0,0,-1)+s(-3,1,0,1)+t(-2,0,1,1)+u(-5,0,0,4),\quad s,t,u\in\mathbb{Z}.]

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