[Médio] Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
e esboçar geometricamente o conjunto das soluções.
Informações dadas: os coeficientes são e o termo independente é
. A variável procura-se em inteiros:
. A resolução começa a seguir.
Informações dadas: os coeficientes são
Passo 2
Primeiro passo técnico importante: verificar se a equação tem solução inteira, usando o máximo divisor comum (mdc) dos coeficientes. Vou explicar o conceito: se temos uma equação
com inteiros, uma condição necessária (e aqui suficiente) para existir solução inteira é que
divida
. O
é o maior inteiro que divide todos os coeficientes.
Calculo o
dos coeficientes
:
Portanto
. Como
divide
, a equação admite soluções inteiras. Podemos então dividir tudo por
para simplificar — isso não muda o conjunto de soluções inteiras, só facilita a conta.
Dividindo por
obtemos a equação equivalente
Passo 3
Agora explico a ideia para resolver: temos uma equação linear em
incógnitas; o conjunto das soluções inteiras será uma família com três parâmetros inteiros (uma família afim de uma rede de posto
). A técnica prática é isolar uma variável (por exemplo
) e impor a condição de divisibilidade que garante que a expressão seja inteira. Vou fazer isso passo a passo.
Isolando
da equação reduzida:
portanto
Para que
seja inteiro, o numerador precisa ser múltiplo de
. Vou estudar essa condição usando aritmética modular (módulo
).
Passo 4
Explico o que é aritmética modular: a congruência
significa que
é múltiplo de
. Ao reduzir coeficientes módulo
fica mais fácil ver a condição de divisibilidade.
Reduzindo cada coeficiente módulo
:
Então, o numerador satisfeito módulo
dá
Agora note que
, então
e
. Assim
Queremos que isso seja congruente a
modulo
. Logo
o que é equivalente a
Essa congruência é a condição necessária e suficiente sobre
para que
seja inteiro.
Passo 5
A partir da congruência
podemos parametrizar
em função de
e de um parâmetro inteiro
. Uma escolha conveniente é escrever
onde
. Esta forma garante automaticamente
, então a condição modular fica satisfeita.
Agora substituo essa expressão de
na fórmula para
. Parto de
substituo
e calculo passo a passo:
Então
Reagrupando termos:
Factorizando
:
Dividindo por
obtemos finalmente
Passo 6
Agora temos uma parametrização inteira explícita. Para ficar mais claro, renomeio
Explico: escolhemos arbitrariamente quaisquer inteiros
definidos por essas fórmulas satisfazem a equação e cobrem todas as soluções inteiras (porque deduzimos a parametrização a partir da condição necessária e suficiente).]
Passo 7
É útil também apresentar a solução na forma “vetor particular + combinação linear inteira das soluções do homogêneo”. Encontramos uma solução particular (por exemplo tomando
):
verifica
. As direções que preservam a soma (ou seja, as soluções da equação homogênea
) são dadas pelos vetores obtidos variando
separadamente:
- para
o incremento é , - para
o incremento é , - para
o incremento é .
Logo a solução geral pode também ser escrita como
Verifique: cada um desses três vetores satisfaz a equação homogênea (multiplicando os componentes pelos coeficientes e somando dá zero), e combinando-os com a solução particular obtemos exatamente a parametrização anterior.
Passo 8
Esboço geométrico / interpretação: em
a equação linear
define um hiperplano afim de dimensão
(o vetor normal é
). A interseção desse hiperplano com a rede inteira
é um subconjunto do tipo "translação de uma rede de posto
": uma rede tridimensional discreta (uma cópia de
) embutida no hiperplano. A parametrização dada por
é um isomorfismo de redes entre
e o conjunto de soluções inteiras: cada ponto inteiro do hiperplano corresponde a um triplo
. Geometricamente, você pode imaginar uma “folha tridimensional” cortando o espaço
, e sobre essa folha estão marcados pontos em padrão de rede regular (gerado pelos três vetores inteiros dados).
Passo 9
Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: para
temos
Verificando na equação original:
funciona. Outro exemplo:
dá
que também satisfaz
.
Resposta
Todas as soluções inteiras são, para quaisquer
,
Equivalente em forma vetorial: