[Médio] Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções inteiras
da equação
e esboçar geometricamente o conjunto dessas soluções. Informações dadas: os coeficientes são
,
e
; o termo independente é
; procura-se a solução no conjunto dos inteiros
.
Passo 2
Primeira observação útil (teoria rápida e importante): para uma equação diofantina linear com três incógnitas
, uma condição necessária e suficiente para existência de solução inteira é que
divida
. Aqui o caso é homogêneo (
), então sempre existe a solução trivial
e, em geral, haverá muitas soluções inteiras (um plano inteiro passando pela origem intersectando
). Vamos calcular o máximo divisor comum:
Como
divide
, a condição está satisfeita — não havia impedimento aritmético para existir solução inteira não-trivial.
Passo 3
Agora vamos manipular a equação para isolar uma variável e estudar as condições de divisibilidade que surgem (isso é um procedimento padrão em diofantinas): escrevemos
Fatoramos um
no lado direito:
Isto nos diz que
é múltiplo de
. Mas como queremos
inteiro, é mais útil olhar a equação como
Para que
seja inteiro, o número
precisa ser par (porque estamos multiplicando por
; o
é ímpar, então a paridade da parte dentro do parêntese decide). Vamos analisar a paridade de
.
Passo 4
Note que
é sempre par (produto de
por inteiro). Então a paridade de
é a mesma da paridade de
. Como
é ímpar,
tem a mesma paridade que
. Portanto a condição “
é par” equivale a “
é par”. Conclusão importante:
Passo 5
Para incorporar essa condição de forma prática, parametrize
por um inteiro
definindo
Substituindo em
obtemos
Dividindo por
,
Agora ponha
com
. Assim temos uma parametrização com dois parâmetros inteiros
:
Passo 6
Escrevendo em forma vetorial (muito útil para a intuição geométrica), a solução geral fica
Isso significa que as soluções inteiras formam uma rede (lattice) bidimensional gerada pelos vetores básicos
e
. Note que
e
são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo geram um subgrupo de
isomorfo a
.
Passo 7
Geometricamente: a equação
representa um plano em
que passa pela origem e tem vetor normal
O conjunto solução em inteiros é a interseção desse plano com a grade inteira
. Essa interseção é um reticulado bidimensional (uma malha de pontos) contida no plano. Os vetores
e
dão duas direções independentes nesse plano e geram todos os pontos inteiros do plano por combinações inteiras. Em termos visuais: imagine o plano cortando o espaço e sobre ele dois vetores diretores; ao somar múltiplos inteiros desses vetores você obtém todos os pontos da malha.
Passo 8
Para consolidar a intuição, alguns exemplos concretos (usar a parametrização com
):
-
dá . -
dá . -
dá e de fato .
Repare também que em todas as soluçõesé par (como deduzimos antes).
Resposta
O conjunto solução é a interseção do plano