[Médio] Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
2 x+10 y+35 z=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções inteiras (x,y,z) da equação
2x+10y+35z=0,
e esboçar geometricamente o conjunto dessas soluções. Informações dadas: os coeficientes são 2, 10 e 35; o termo independente é 0; procura-se a solução no conjunto dos inteiros \mathbb{Z}^3.

Passo 2

Primeira observação útil (teoria rápida e importante): para uma equação diofantina linear com três incógnitas ax+by+cz=d, uma condição necessária e suficiente para existência de solução inteira é que \gcd(a,b,c) divida d. Aqui o caso é homogêneo ( d=0), então sempre existe a solução trivial (0,0,0) e, em geral, haverá muitas soluções inteiras (um plano inteiro passando pela origem intersectando \mathbb{Z}^3). Vamos calcular o máximo divisor comum:
\gcd(2,10,35)=1.
Como \gcd=1 divide 0, a condição está satisfeita — não havia impedimento aritmético para existir solução inteira não-trivial.

Passo 3

Agora vamos manipular a equação para isolar uma variável e estudar as condições de divisibilidade que surgem (isso é um procedimento padrão em diofantinas): escrevemos
2x = -10y - 35z.
Fatoramos um 5 no lado direito:
2x = -5(2y+7z).
Isto nos diz que 2x é múltiplo de 5. Mas como queremos x inteiro, é mais útil olhar a equação como
x = -\frac{5}{2}(2y+7z).
Para que x seja inteiro, o número (2y+7z) precisa ser par (porque estamos multiplicando por 5/2; o 5 é ímpar, então a paridade da parte dentro do parêntese decide). Vamos analisar a paridade de (2y+7z).

Passo 4

Note que 2y é sempre par (produto de 2 por inteiro). Então a paridade de 2y+7z é a mesma da paridade de 7z. Como 7 é ímpar, 7z tem a mesma paridade que z. Portanto a condição “ 2y+7z é par” equivale a “ z é par”. Conclusão importante:
\text{é necessário e suficiente que } z \text{ seja par.}éá

Passo 5

Para incorporar essa condição de forma prática, parametrize z por um inteiro t definindo
z = 2t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Substituindo em 2x = -10y -35z obtemos
2x = -10y -35(2t) = -10y -70t = -10(y+7t).
Dividindo por 2,
x = -5(y+7t).
Agora ponha y=s com s\in\mathbb{Z}. Assim temos uma parametrização com dois parâmetros inteiros s,t:
x = -5s -35t,\qquad y = s,\qquad z = 2t,\qquad s,t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Escrevendo em forma vetorial (muito útil para a intuição geométrica), a solução geral fica
(x,y,z) = s(-5,1,0) + t(-35,0,2),\qquad s,t\in\mathbb{Z}.
Isso significa que as soluções inteiras formam uma rede (lattice) bidimensional gerada pelos vetores básicos v_1 = (-5,1,0) e v_2 = (-35,0,2). Note que v_1 e v_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), logo geram um subgrupo de \mathbb{Z}^3 isomorfo a \mathbb{Z}^2.

Passo 7

Geometricamente: a equação \;2x+10y+35z=0\; representa um plano em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e tem vetor normal
n = (2,10,35).
O conjunto solução em inteiros é a interseção desse plano com a grade inteira \mathbb{Z}^3. Essa interseção é um reticulado bidimensional (uma malha de pontos) contida no plano. Os vetores v_1 e v_2 dão duas direções independentes nesse plano e geram todos os pontos inteiros do plano por combinações inteiras. Em termos visuais: imagine o plano cortando o espaço e sobre ele dois vetores diretores; ao somar múltiplos inteiros desses vetores você obtém todos os pontos da malha.

Passo 8

Para consolidar a intuição, alguns exemplos concretos (usar a parametrização com s,t):
  • s=1,t=0 (x,y,z)=(-5,1,0).
  • s=0,t=1 (x,y,z)=(-35,0,2).
  • s=2,t=-1 (x,y,z)=(25,2,-2) e de fato 2\cdot25+10\cdot2+35\cdot(-2)=50+20-70=0.
    Repare também que em todas as soluções z é par (como deduzimos antes).

Resposta

(x,y,z)=\bigl(-5s-35t,\\ s,\\\ 2t\bigr),\qquad s,t\in\mathbb{Z}.\n
O conjunto solução é a interseção do plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:2x+10y+35z=0\} com \mathbb{Z}^3; é um reticulado bidimensional gerado por (-5,1,0) e (-35,0,2).

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