Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
[Fácil]
33 x+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções inteiras da equação
33x+25y=0
e esboçar geometricamente o conjunto dessas soluções. Informações dadas: os coeficientes são 33 e 25, e queremos todos os pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z} que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o máximo divisor comum de 33 e 25 usando o algoritmo de Euclides. Fazemos as divisões sucessivas:
33 = 25\cdot1 + 8
25 = 8\cdot3 + 1
8 = 1\cdot8 + 0
Como a última resto não-nulo é 1, temos \gcd(33,25)=1.

Passo 3

Vou usar uma propriedade útil de divisibilidade: se \gcd(a,b)=1 e a divide b\cdot c, então a divide c. Uma pequena justificativa prática: existem inteiros u,v tais que au+bv=1; multiplicando por c obtemos a(uc)+b(vc)=c. Se a divide b\cdot c, então a divide b(vc), e portanto a divide o lado direito c.

Passo 4

Da equação 33x+25y=0 segue
33x = -25y.
Isso mostra que 25 divide 33x. Como \gcd(25,33)=1 (do Passo 2), pela propriedade do Passo 3 concluímos que 25 divide x. Então existe um inteiro t tal que
x = 25t.

Passo 5

Substituindo x=25t na equação original obtemos
33(25t)+25y=0.
Dividindo ambos os lados por 25 (isso é válido porque 25\neq0) resulta
33t + y = 0.
Assim
y = -33t.

Passo 6

Portanto todas as soluções inteiras são dadas por
(x,y) = (25t, -33t),\qquad t\in\mathbb{Z}.
Exemplos rápidos: para t=0 obtemos (0,0); para t=1 obtemos (25,-33); para t=-1 obtemos (-25,33).

Passo 7

Geometricamente, as soluções inteiras são exatamente os pontos da rede inteira \mathbb{Z}^2 que estão sobre a reta
y = -\frac{33}{25}x.
Esses pontos aparecem espaçados regularmente ao longo da reta: são os múltiplos inteiros do vetor (25,-33). Em outras palavras, o conjunto solução é a reta passando pela origem com direção (25,-33), e os pontos da solução são os pontos de interseção dessa reta com a grade do plano inteiro (os pontos (25t,-33t)).

Resposta

(x,y)=(25t,-33t) para todo t\in\mathbb{Z}.
Conjunto geométrico: pontos inteiros sobre a reta y=-\dfrac{33}{25}x, isto é, os múltiplos de (25,-33).

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