Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
[Fácil]
[Fácil]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções inteiras da equação
e esboçar geometricamente o conjunto dessas soluções. Informações dadas: os coeficientes são
e
, e queremos todos os pares
com
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro vamos calcular o máximo divisor comum de
e
usando o algoritmo de Euclides. Fazemos as divisões sucessivas:
Como a última resto não-nulo é
, temos
.
Passo 3
Vou usar uma propriedade útil de divisibilidade: se
e
divide
, então
divide
. Uma pequena justificativa prática: existem inteiros
tais que
; multiplicando por
obtemos
. Se
divide
, então
divide
, e portanto
divide o lado direito
.
Passo 4
Da equação
segue
Isso mostra que
divide
. Como
(do Passo 2), pela propriedade do Passo 3 concluímos que
divide
. Então existe um inteiro
tal que
Passo 5
Substituindo
na equação original obtemos
Dividindo ambos os lados por
(isso é válido porque
) resulta
Assim
Passo 6
Portanto todas as soluções inteiras são dadas por
Exemplos rápidos: para
obtemos
; para
obtemos
; para
obtemos
.
Passo 7
Geometricamente, as soluções inteiras são exatamente os pontos da rede inteira
que estão sobre a reta
Esses pontos aparecem espaçados regularmente ao longo da reta: são os múltiplos inteiros do vetor
. Em outras palavras, o conjunto solução é a reta passando pela origem com direção
, e os pontos da solução são os pontos de interseção dessa reta com a grade do plano inteiro (os pontos
).
Resposta
Conjunto geométrico: pontos inteiros sobre a reta