Nos problemas 7a 27, avalie cada limite. Indique quais das Propriedades de 1a 10 são usadas.
lim z -1 z^2+4 z+3z^2-1

Passo 1

O enunciado pede
limzto -1z^2+4z+3z^2-1
O conteúdo é limite de função racional com forma indeterminada tfrac00. Vamos fatorar e usar as propriedades de limites (soma, produto, quociente e continuidade).

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
z^2+4z+3=(z+1)(z+3), z^2-1=(z+1)(z-1)

Passo 3

Como ambos têm o fator comum (z+1), para zneq -1 podemos simplificar
z^2+4z+3z^2-1 =(z+1)(z+3)(z+1)(z-1) =z+3z-1
Aqui usamos a Propriedade 9 (remoção de indeterminação por cancelamento de fator comum).

Passo 4

A função g(z)=z+3z-1 é contínua em z=-1 pois o denominador não se anula ali. Logo, pela Propriedade 10 (continuidade e substituição direta) e pela Propriedade 6 (limite de quociente), temos
limzto -1z+3z-1 =(-1)+3(-1)-1 =2-2 =-1

Passo 5

As outras propriedades usadas foram: Propriedade 3 (limite de soma) e Propriedade 5 (limite de produto) ao justificar a fatoração e simplificação antes de eliminar a indeterminação.

Resposta

-1

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