Qual das seguintes funções satisfazem a equação de onda
?
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a equação de onda
Informações dadas que vamos usar:
-
, , e são constantes (reais). - A verificação consiste em calcular as derivadas parciais de segunda ordem em
e em e checar se a igualdade é verdadeira, possivelmente obtendo uma condição entre , e .
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui usamos a regra da cadeia: se
com
, então
. Como
, obtemos
Agora derivamos de novo em
(outra aplicação da regra da cadeia e da derivada de
que é
):
Observação útil: como
, podemos escrever
Passo 3
Agora fazemos as derivadas parciais em relação ao tempo
. Começando por uma derivada:
Derivando novamente em
:
Ou, usando
,
Passo 4
Substituímos as duas segundas derivadas na equação de onda:
A equação de onda exige que essas duas expressões sejam iguais para todo
. Logo precisamos de
Se
não é identicamente zero (caso trivial
), podemos cancelar o fator
e obter a condição
Passo 5
Da condição
obtemos
e portanto
Interpretando fisicamente:
é a velocidade de fase da onda; a igualdade
significa que a onda tem velocidade de propagação
. O sinal
indica a direção de propagação: por exemplo, se
a função fica
(onda para a direita), enquanto
dá
(onda para a esquerda).
Passo 6
Conclusão didática: a forma
é uma solução da equação de onda somente se a frequência angular
e o número de onda
satisfizerem a relação de dispersão clássica
. Se essa relação não valer, a igualdade da PDE falha (os fatores de
e
não coincidem).
Resposta
Sim — desde que
.