Qual das seguintes funções satisfazem a equação de onda ∂^{2} y / ∂ x^{2}=1 / v^{2} ∂^{2} y / ∂ t^{2} ?
y=A \operatorname{sen}(k x+ω t);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = A \sin(kx + \omega t)
satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A, k, \omega e v são constantes (reais).
  • A verificação consiste em calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x e em t e checar se a igualdade é verdadeira, possivelmente obtendo uma condição entre k, \omega e v.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de y em relação a x. Aqui usamos a regra da cadeia: se y=A\sin(u) com u=kx+\omega t, então \partial y/\partial x = A\cos(u)\cdot \partial u/\partial x. Como \partial u/\partial x = k, obtemos
\frac{\partial y}{\partial x} = A k \cos(kx+\omega t).
Agora derivamos de novo em x (outra aplicação da regra da cadeia e da derivada de \cos que é -\sin):
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(A k \cos(kx+\omega t)\big) = A k \big(-\sin(kx+\omega t)\big)\cdot k = -A k^{2} \sin(kx+\omega t).
Observação útil: como y=A\sin(kx+\omega t), podemos escrever
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = -k^{2} y.

Passo 3

Agora fazemos as derivadas parciais em relação ao tempo t. Começando por uma derivada:
\frac{\partial y}{\partial t} = A \cos(kx+\omega t)\cdot \omega = A \omega \cos(kx+\omega t).
Derivando novamente em t:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t}\big(A \omega \cos(kx+\omega t)\big) = A \omega \big(-\sin(kx+\omega t)\big)\cdot \omega = -A \omega^{2} \sin(kx+\omega t).
Ou, usando y,
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -\omega^{2} y.

Passo 4

Substituímos as duas segundas derivadas na equação de onda:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = -k^{2} y, \qquad \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\big(-\omega^{2} y\big) = -\frac{\omega^{2}}{v^{2}} y.
A equação de onda exige que essas duas expressões sejam iguais para todo x,t. Logo precisamos de
-k^{2} y = -\frac{\omega^{2}}{v^{2}} y.
Se y não é identicamente zero (caso trivial A=0), podemos cancelar o fator -y e obter a condição
k^{2} = \frac{\omega^{2}}{v^{2}}.

Passo 5

Da condição k^{2} = \omega^{2}/v^{2} obtemos
\omega^{2} = v^{2} k^{2}
e portanto
\omega = \pm v k.
Interpretando fisicamente: \omega/k é a velocidade de fase da onda; a igualdade |\omega/k|=v significa que a onda tem velocidade de propagação v. O sinal \pm indica a direção de propagação: por exemplo, se \omega = -vk a função fica y=A\sin(kx-vkt)=A\sin\big(k(x-vt)\big) (onda para a direita), enquanto \omega = +vk y=A\sin(kx+vkt)=A\sin\big(k(x+vt)\big) (onda para a esquerda).

Passo 6

Conclusão didática: a forma A\sin(kx+\omega t) é uma solução da equação de onda somente se a frequência angular \omega e o número de onda k satisfizerem a relação de dispersão clássica \omega = \pm v k. Se essa relação não valer, a igualdade da PDE falha (os fatores de -k^{2} e -\omega^{2}/v^{2} não coincidem).

Resposta

Sim — desde que \omega=\pm v k.

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