Por meio de uma rotação de um ângulo theta, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas u V: C: 3 x^2+2 x y+3 y^2+6 raiz2 x+2 raiz2 y+2=0 e theta=pi4.

Passo 1

O enunciado pede que, por meio de uma rotação de ângulo theta=tfracpi4, reescrevamos a cônica
C:;3x^2+2xy+3y^2+6raiz2,x+2raiz2,y+2=0
no novo sistema de coordenadas (u,v). Para isso usamos as fórmulas de rotação
x = ucostheta - vsintheta,
y = usintheta + vcostheta,
com costheta=sintheta=tfracraiz22.

Passo 2

Substituindo em x e y obtemos
x = u-vraiz2, y = u+vraiz2
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x^2 = (u-v)^22, y^2 = (u+v)^22, xy = u^2 - v^22

Passo 3

Calculemos os termos quadráticos:
3x^2+3y^2 =3l(tfrac(u-v)^22+tfrac(u+v)^22r) =3(u^2+v^2),
2xy = u^2 - v^2,
portanto
3x^2 + 2xy + 3y^2 = 3(u^2+v^2) + (u^2 - v^2) = 4u^2 + 2v^2

Passo 4

Agora os termos lineares:
6raiz2,x = 6raiz2cdotu-vraiz2 = 6(u-v),
2raiz2,y = 2raiz2cdotu+vraiz2 = 2(u+v),
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6raiz2,x + 2raiz2,y = 8u - 4v

Passo 5

Reescrevendo a equação original em u,v e juntando tudo:
4u^2 + 2v^2 + 8u - 4v + 2 = 0
Dividindo por 2 para simplificar:
2u^2 + v^2 + 4u - 2v + 1 = 0

Resposta

2u^2 + v^2 + 4u - 2v + 1 = 0

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