Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
em termos da derivada
.
(b) Use o item anterior para justificar a afirmação de que
se, e somente se,
.
(c) Calcule
supondo que
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
(b) Use o item anterior para justificar a afirmação de que
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado diz que a produção é dada por uma função derivável
, medida em milhares, onde
(em centenas) é o número de empregados. A produtividade média por empregado é
Para encontrar o número
que maximiza
, usamos o fato de que um máximo interno ocorre quando
. Vamos então (a) calcular
via regra do quociente, (b) mostrar que
equivale a
, e (c) calcular
para um caso concreto de
.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente a
A derivada é
Passo 3
Para justificar a afirmação:
Logo,
se, e somente se,
.
Passo 4
Supondo agora
usamos novamente a regra do quociente: o numerador é
e o denominador
. Então
e
Resposta
(a)
(b) Da expressão acima,
equivale a
, i.e.\
.
(c)