Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número x de empregados, por uma função derivável p(x), em que p(x) é medida em milhares e x em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função M(x)=p(x) / x, e pode-se mostrar que o número x_{0} de empregados que maximiza a função M(x) é aquele para o qual M^{\prime}\left(x_{0}\right)=0.
(a) Usando as regras de derivação, calcule M^{\prime}(x) em termos da derivada p^{\prime}(x).
(b) Use o item anterior para justificar a afirmação de que M^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 se, e somente se, p^{\prime}\left(x_{0}\right)=M\left(x_{0}\right).
(c) Calcule p^{\prime}(x) supondo que p(x)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado diz que a produção é dada por uma função derivável p(x), medida em milhares, onde x (em centenas) é o número de empregados. A produtividade média por empregado é
M(x)=\frac{p(x)}{x}.
Para encontrar o número x_{0} que maximiza M, usamos o fato de que um máximo interno ocorre quando M'(x_{0})=0. Vamos então (a) calcular M'(x) via regra do quociente, (b) mostrar que M'(x_{0})=0 equivale a p'(x_{0})=M(x_{0}), e (c) calcular p'(x) para um caso concreto de p(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente a
M(x)=\frac{p(x)}{x}.
A derivada é
M'(x) =\frac{x\,p'(x)-p(x)\cdot1}{x^{2}} =\frac{x\,p'(x)-p(x)}{x^{2}}.

Passo 3

Para justificar a afirmação:
M'(x_{0})=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x_{0}\,p'(x_{0})-p(x_{0})}{x_{0}^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{0}\,p'(x_{0})-p(x_{0})=0 \quad\Longleftrightarrow\quad p'(x_{0})=\frac{p(x_{0})}{x_{0}}=M(x_{0}).
Logo, M'(x_{0})=0 se, e somente se, p'(x_{0})=M(x_{0}).

Passo 4

Supondo agora
p(x)=\frac{2\,x^{2}}{x^{2}+1},
usamos novamente a regra do quociente: o numerador é u(x)=2x^{2} e o denominador v(x)=x^{2}+1. Então
u'(x)=4x, \quad v'(x)=2x,
e
p'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{4x\,(x^{2}+1)-2x^{2}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{4x\,x^{2}+4x-4x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

(a) M'(x)=\frac{x\,p'(x)-p(x)}{x^{2}}.
(b) Da expressão acima, M'(x_{0})=0 equivale a x_{0}\,p'(x_{0})-p(x_{0})=0, i.e.\ p'(x_{0})=p(x_{0})/x_{0}=M(x_{0}).
(c) p'(x)=\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}.

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