Resolva o problema de valor inicial
x^{2} y^{\prime}=y-x y, \quad y(-1)=-1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^{2}y' = y - x\,y,\quad y(-1) = -1.
Este é uma equação diferencial de primeira ordem, separável. Vamos usar separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução geral, e depois impor y(-1)=-1.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a agrupar y e dy num lado e x e dx no outro. Dividindo ambos os lados por x^{2}y (assumindo x\neq0 e y\neq0) obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{x^{2}}.
Isso dá a separação
\frac{dy}{y} = \Bigl(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \Bigl(x^{-2} - x^{-1}\Bigr)\,dx.
Calculemos cada parte:
\int x^{-2}\,dx = -\,\frac{1}{x}, \quad \int x^{-1}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.
Logo, após a integração, fica
\ln\bigl|y\bigr| = -\frac{1}{x} - \ln\bigl|x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, somamos \ln|x| em ambos os lados e exponenciamos:
\ln\bigl|y\bigr| + \ln\bigl|x\bigr| = -\frac{1}{x} + C
\ln\bigl|x\,y\bigr| = -\frac{1}{x} + C
|x\,y| = e^{C}\,e^{-1/x}.
Chamando K = \pm e^{C}, a solução geral é
y(x) = K\,x^{-1}\,e^{-1/x}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(-1)=-1:
y(-1) = K\;(-1)^{-1}\,e^{-1/(-1)} = K\;(-1)\,e^{1} = -K\,e = -1.
Logo -K\,e = -1 implica K = \tfrac{1}{e}. Portanto a solução particular é
y(x) = \frac{1}{e}\;x^{-1}\,e^{-1/x}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{e\,x}\,e^{-\tfrac{1}{x}}.

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