Por meio do teorema de Green, calcule ointC 5 x y d x+x^3 d y, onde c é a curva fechada que consiste nos gráficos de y=x^2 e y=2 x entre os pontos (0,0) e (2,4).
Dicas:
Utilizar o Teorema de Green: ointC f(x, y) d x+g(x, y) d y=integral duplaR(partial gpartial x-partial fpartial y) cdot d A
Considerar os limites de integração da região R da integral dupla, conforme segue:
R: x^2 <= y <= 2 x e 0 <= x <= 2
Assim, para o cálculo final da integral dupla, utilize:
ointC 5 x y d x+x^3 d y=integral0^2 integralx^2^2 x(partial gpartial x-partial fpartial y) cdot d y cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O enunciado pede pra calcular a integral de linha ointC 5xy,dx + x^3,dy, onde C é uma curva fechada formada pelas curvas y = x^2 e y = 2x entre os pontos (0,0) e (2,4). Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada C que delimita uma região R, a integral de linha ointC f(x, y),dx + g(x, y),dy pode ser transformada em uma integral dupla sobre R:
ointC f(x, y),dx + g(x, y),dy = integral duplaR ( partial gpartial x - partial fpartial y ) dA
Essa transformação facilita bastante o cálculo, especialmente quando a região R é simples de descrever.

Passo 3

No nosso caso, identificamos que:
f(x, y) = 5xy e g(x, y) = x^3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial gpartial x = partialpartial x (x^3) = 3x^2
partial fpartial y = partialpartial y (5xy) = 5x
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial gpartial x - partial fpartial y = 3x^2 - 5x

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região R. A região está delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x entre x = 0 e x = 2. Então, para cada valor de x entre 0 e 2, y varia de x^2 até 2x.
Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaR (3x^2 - 5x),dA = integral0^2 integralx^2^2x (3x^2 - 5x),dy,dx

Passo 5

Vamos calcular a integral dupla passo a passo. Primeiro, integramos em relação a y:
integralx^2^2x (3x^2 - 5x),dy = (3x^2 - 5x) integralx^2^2x dy = (3x^2 - 5x)(2x - x^2)
Agora, simplificamos a expressão:
(3x^2 - 5x)(2x - x^2) = 3x^2 cdot 2x + 3x^2 cdot (-x^2) - 5x cdot 2x - 5x cdot (-x^2) = 6x^3 - 3x^4 - 10x^2 + 5x^3 = (6x^3 + 5x^3) - 3x^4 - 10x^2 = 11x^3 - 3x^4 - 10x^2
Agora, integramos em relação a x:
integral0^2 (11x^3 - 3x^4 - 10x^2),dx = 11 integral0^2 x^3,dx - 3 integral0^2 x^4,dx - 10 integral0^2 x^2,dx
Calculando cada integral:
11 cdot [ x^44 ]0^2 = 11 cdot ( 164 - 0 ) = 11 cdot 4 = 44
-3 cdot [ x^55 ]0^2 = -3 cdot ( 325 - 0 ) = - 965
-10 cdot [ x^33 ]0^2 = -10 cdot ( 83 - 0 ) = - 803
Somando tudo:
44 - 965 - 803 = 66015 - 28815 - 40015 = 660 - 288 - 40015 = -2815

Resposta

A integral ointC 5xy,dx + x^3,dy vale -dfrac2815.

Exercícios relacionados