Por meio do teorema de Green, calcule
, onde
é a curva fechada que consiste nos gráficos de
e
entre os pontos
e
.
Dicas:
Utilizar o Teorema de Green:
Considerar os limites de integração da região
da integral dupla, conforme segue:
Assim, para o cálculo final da integral dupla, utilize:
Dicas:
Utilizar o Teorema de Green:
Considerar os limites de integração da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O enunciado pede pra calcular a integral de linha
, onde
é uma curva fechada formada pelas curvas
e
entre os pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre
:
Essa transformação facilita bastante o cálculo, especialmente quando a região
é simples de descrever.
Passo 3
No nosso caso, identificamos que:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. A região está delimitada pelas curvas
e
entre
e
. Então, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de
até
.
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral dupla passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, simplificamos a expressão:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada integral:
Somando tudo:
Resposta
A integral
vale
.