Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova origem indicada:
b. 4 x^2-y^2-8 x-10 y-25=0 ; O^prime=(1,-5)
Resp.: 4 x^prime 2-y^prime 2-4=0

Passo 1

O enunciado pede para fazer uma translação de eixos na equação
4x^2-y^2-8x-10y-25=0
de modo que o novo sistema tenha origem em O'=(1,-5). O conteúdo envolvido é a mudança de variáveis por translação de eixos, onde ajustamos
,(x,y)mapsto(x',y') para que (x',y')=(0,0) corresponda a (x,y)=(1,-5).

Passo 2

Definimos a translação de eixos assim:
x = x' + 1, y = y' - 5,
pois quando x'=0 e y'=0 temos (x,y)=(1,-5), isto é, a nova origem.

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original:
4(x'+1)^2 - (,y'-5,)^2 - 8(x'+1) - 10(y'-5) - 25 = 0

Passo 4

Expandindo e coletando termos semelhantes:
4(x'^2+2x'+1)-l(y'^2-10y'+25r)-8x'-8-10y'+50-25=0
Longrightarrow 4x'^2+8x'+4 - y'^2+10y'-25 -8x'-8 -10y' +50 -25 = 0
os termos em x' e em y' se cancelam, e os constantes resultam em -4. Logo sobra
4x'^2-y'^2-4=0

Resposta

4x'^2-y'^2-4=0

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