Obtenha o vértice e o foco da parábola cuja equação é:
b. x^2-8 x-6 y+14=0
Resp.: V(4,-13), F(4, 76)

Passo 1

O enunciado pede o vértice e o foco da parábola
x^2-8x-6y+14=0
Para isso vamos escrever essa equação na forma canônica
(x-h)^2=4p,(y-k),
onde (h,k) é o vértice e o foco está em (h,k+p).

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x. Note que
x^2-8x = (x-4)^2-16
Substituindo na equação original obtemos
(x-4)^2-16 ;-;6y ;+;14 = 0

Passo 3

Reagrupando termos temos
(x-4)^2-6y -2 = 0 Longrightarrow (x-4)^2 = 6y +2 Longrightarrow (x-4)^2 = 6l(y + tfrac13r)
Comparando com (x-h)^2=4p,(y-k), concluímos
h = 4, k = -tfrac13, 4p = 6;Longrightarrow;p = tfrac32
Logo o vértice é
Vl(h,kr) = l(4,,-tfrac13r)

Passo 4

O foco de uma parábola (x-h)^2=4p,(y-k) é (h,;k+p). Assim
Fl(4,,-tfrac13 + tfrac32r) = l(4,;tfrac-2+96r) = l(4,;tfrac76r)

Resposta

Vértice Vl(4,-tfrac13r)
Foco Fl(4,tfrac76r)

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