Questão 9 Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty(n^2+12 n^2+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência absoluta da série
sumn=1^infty(n^2+12n^2+1)^n
Como cada termo é positivo e vem elevado a n, o teste da raiz é o mais direto: calculamos
L ;=;limntoinftyraiz[n]an,
onde
an = (n^2+12n^2+1)^n

Passo 2

Vamos extrair a raiz n-ésima de an. Por definição,
raiz[n]an = raiz[n](n^2+12n^2+1)^n = n^2+12n^2+1

Passo 3

Precisamos agora do limite
L = limntoinftyn^2+12n^2+1
Para grandes n, os termos de maior grau dominam, logo
L = limntoinftyn^2l(1+tfrac1n^2r)n^2l(2+tfrac1n^2r) = 12

Passo 4

Como L = tfrac12 < 1, o teste da raiz diz que a série converge absolutamente.

Resposta

A série
sumn=1^infty(n^2+12n^2+1)^n
converge absolutamente pelo teste da raiz.

Exercícios relacionados