Um trem percorre uma ferrovia circular e pára de 6 em 6 estações. Ao fim de quantas voltas completas terá parado na estação de onde partiu, sabendo-se que há 20 estações?

Passo 1

O enunciado diz que um trem percorre uma ferrovia circular com 20 estações e sempre pára de 6 em 6 estações, partindo da estação inicial. Queremos saber após quantas voltas completas ele fará um novo pedido de parada exatamente na estação de onde partiu.
Conteúdo: aritmética modular e máximo divisor comum para ciclos em sistemas circulares.

Passo 2

Modelamos o avanço de cada parada como soma de 6 estações em relação à anterior, tudo considerado módulo 20. Se chamarmos n o número de paradas até voltar à estação inicial, precisamos ter
6n equiv 0 pmod20

Passo 3

Para resolver 6nequiv0pmod20 buscamos o menor n>0. Em geral, a solução mínima é
n = 20gcd(6,20)

Passo 4

Calculamos o máximo divisor comum:
gcd(6,20)=2,
então
n=202=10
Ou seja, após 10 paradas ele retorna à estação de partida.

Passo 5

Cada parada avança 6 estações, logo o total de estações percorridas em 10 paradas é
6times10=60
Como a ferrovia tem 20 estações, 60 estações equivalem a
6020=3
voltas completas.

Resposta

O trem terá parado na estação de onde partiu após 3 voltas completas.

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