Um trem percorre uma ferrovia circular e pára de 6 em 6 estações. Ao fim de quantas voltas completas terá parado na estação de onde partiu, sabendo-se que há 20 estações?
Passo 1
O enunciado diz que um trem percorre uma ferrovia circular com
estações e sempre pára de
em
estações, partindo da estação inicial. Queremos saber após quantas voltas completas ele fará um novo pedido de parada exatamente na estação de onde partiu.
Conteúdo: aritmética modular e máximo divisor comum para ciclos em sistemas circulares.
Conteúdo: aritmética modular e máximo divisor comum para ciclos em sistemas circulares.
Passo 2
Modelamos o avanço de cada parada como soma de
estações em relação à anterior, tudo considerado módulo
. Se chamarmos
o número de paradas até voltar à estação inicial, precisamos ter
Passo 3
Para resolver
buscamos o menor
. Em geral, a solução mínima é
Passo 4
Calculamos o máximo divisor comum:
então
Ou seja, após
paradas ele retorna à estação de partida.
Passo 5
Cada parada avança
estações, logo o total de estações percorridas em
paradas é
Como a ferrovia tem
estações,
estações equivalem a
voltas completas.
Resposta
O trem terá parado na estação de onde partiu após 3 voltas completas.