Otimização de Processos: Misturador Não Ideal

Um misturador adiabático recebe duas correntes:
  • Corrente A : temperatura TA =350 \mathrm{~K}, vazão mássica \mathrm{mA}=2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}
  • Corrente B: temperatura TB=500 K, vazão mássica mB=1 kg/s
O modelo termodinâmico do processo para estimar a temperatura de saída é dado pela equação 3.1, onde u é um termo de incerteza devido a não idealidades e deve ser ajustado para minimizar o erro médio entre o modelo e medições experimentais. O engenheiro responsável pelo processo deseja determinar o valor ótimo de u que minimiza o erro quadrático médio, dado pela equação 3.2.
Analise e indique quais alternativas abaixo são corretas. *
\begin{aligned} T_{\text {out }} & =\frac{\dot{m}_{A} T_{A}+\dot{m}_{B} T_{B}+u}{\dot{m}_{A}+\dot{m}_{B}} \\\ F(u) & =\sum_{i=1}^{5}\left(T_{\text {out }, i}^{\exp }-T_{\text {out }, i}^{\bmod }(u)\right)^{2} \end{aligned}
□ O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.
□ O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.
□ O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.
□ Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.
□ O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão 5 \times 5.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, literalmente, para ficarmos alinhados.
  • Dados do processo:
    • Corrente A: \dot{m}_A = 2\\ \mathrm{kg/s}, T_A = 350\\ \mathrm{K}.
    • Corrente B: \dot{m}_B = 1\\ \mathrm{kg/s}, T_B = 500\\ \mathrm{K}.
  • Modelo do misturador (equação 3.1): T_{\text{out}} = \frac{\dot{m}_A T_A + \dot{m}_B T_B + u}{\dot{m}_A + \dot{m}_B},onde u é um único termo de incerteza (uma variável escalar) a ser ajustado.
  • Função objetivo (erro quadrático somado, equação 3.2): F(u) = \sum_{i=1}^{5}\left(T_{\text{out},i}^{\exp} - T_{\text{out},i}^{\bmod}(u)\right)^2.
  • Pergunta (as alternativas a avaliar):
    1. O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.
    2. O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.
    3. O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.
    4. Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.
    5. O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão 5\times 5.

Passo 2

Primeiro calculemos a forma do modelo em função de u. Calculemos a mistura sem u:
\text{den}=\dot{m}_A+\dot{m}_B = 2+1 = 3.
O termo sem u é
c_0=\frac{\dot{m}_A T_A + \dot{m}_B T_B}{\dot{m}_A+\dot{m}_B} =\frac{2\cdot350 + 1\cdot500}{3} = \frac{700+500}{3} = \frac{1200}{3} = 400\\ \mathrm{K}.
O coeficiente de u é
c_1=\frac{1}{\dot{m}_A+\dot{m}_B}=\frac{1}{3}.
Portanto, para qualquer ensaio i a temperatura modelada é uma função afim de u:
T_{\text{out},i}^{\bmod}(u) = 400 + \frac{1}{3}u.
Observação intuitiva: a única dependência em i na expressão acima seria se o modelo tivesse parâmetros que variam com o ensaio — aqui todos os ensaios usam o mesmo modelo, então a dependência em i vem só de T_{\text{out},i}^{\exp} (as medições).

Passo 3

Escrevamos a função objetivo explicitamente usando a forma afim encontrada. Defina
r_i(u)=T_{\text{out},i}^{\exp} - T_{\text{out},i}^{\bmod}(u) = \left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right) - \frac{1}{3}u.
Então
F(u)=\sum_{i=1}^{5} \left[r_i(u)\right]^2 = \sum_{i=1}^{5} \left(\left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right) - \frac{1}{3}u\right)^2.
Expandindo (de forma organizada):
F(u)=\sum_{i=1}^{5}\left( \left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right)^2 - 2\frac{1}{3}\left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right)u + \frac{1}{9}u^2 \right).
Somando em i:
F(u) = \left(\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{9}\right) u^2 - 2\frac{1}{3}\left(\sum_{i=1}^{5}\left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right)\right) u + \text{constante},
ou seja
F(u) = \frac{5}{9}\,u^2 - \frac{2}{3}S\,u + C,
onde S=\sum_{i=1}^{5}\left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right) e C=\sum_{i=1}^{5}\left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right)^2 (constante em u).

Passo 4

A partir da forma em quadrático podemos responder às alternativas uma a uma, com justificativa curta e clara.
  • Alternativa 1: “O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.”
    • O problema é unidimensional porque u é um único parâmetro escalar (dimensão 1).
    • A função objetivo é um polinômio quadrático de coeficiente principal \dfrac{5}{9}. Como \dfrac{5}{9}>0, a função é estritamente convexa. Logo a alternativa 1 é verdadeira.
  • Alternativa 2: “O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.”
    • Falso. O problema não é um problema de programação linear: a função objetivo é quadrática (não linear) em u. Além disso, o coeficiente quadrático é positivo, então a quadrática tem um único mínimo (não múltiplas soluções). Portanto alternativa 2 é falsa.
  • Alternativa 3: “O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.”
    • Embora a função objetivo seja quadrática (não linear como função de u), a convexidade NÃO depende dos valores experimentais aqui: o coeficiente quadrático \dfrac{5}{9} vem de \sum (1/3)^2 e é sempre positivo porque \dot{m}_A+\dot{m}_B>0. Ou seja, independente dos T_{\text{out},i}^{\exp}, a parte quadrática é positiva e garante convexidade estrita. Portanto a segunda parte da afirmação é falsa, então a alternativa 3 é falsa.
  • Alternativa 4: “Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.”
    • Falso. Somatório de termos quadráticos de forma afim em uma variável resulta em uma quadrática cujo coeficiente principal é soma de quadrados dos coeficientes lineares. Aqui esse coeficiente é positivo e conhecido, logo é possível garantir convexidade estrita. Alternativa 4 é falsa.
  • Alternativa 5: “O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão 5\times 5.”
    • Falso. A variável de ajuste é escalar (dimensão 1). A Hessiana de F em relação a u é uma matriz 1\times 1 (ou simplesmente o valor F''(u)), não 5\times 5. A dimensão 5 vem do número de termos somados, mas não da dimensão do espaço de variáveis. Alternativa 5 é falsa.

Passo 5

Complemento prático: existe um único mínimo e podemos escrevê-lo explicitamente. Derivando F(u) e igualando a zero:
F'(u) = 2\frac{5}{9}u - \frac{2}{3}S = 0 \quad\Rightarrow\quad u^\star = \frac{\frac{2}{3}S}{2\cdot\frac{5}{9}} = \frac{3}{5} S.
Ou seja,
u^\star = \frac{3}{5}\sum_{i=1}^{5}\left(T_{\text{out},i}^{\exp}-400\right).
Isto mostra de maneira explícita que há uma solução única e fechada, e que o problema é simples de resolver sem algoritmos complexos.
Força aí — apesar do nome assustador “otimização”, este caso é bem comportado: variável única, quadrática estritamente convexa, solução direta.

Resposta

O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.

Exercícios relacionados