Otimização de Processos: Misturador Não Ideal
Um misturador adiabático recebe duas correntes:
- Corrente A : temperatura TA
, vazão mássica
- Corrente B: temperatura TB=500 K, vazão mássica mB=1 kg/s
O modelo termodinâmico do processo para estimar a temperatura de saída é dado pela equação 3.1, onde u é um termo de incerteza devido a não idealidades e deve ser ajustado para minimizar o erro médio entre o modelo e medições experimentais. O engenheiro responsável pelo processo deseja determinar o valor ótimo de u que minimiza o erro quadrático médio, dado pela equação 3.2.
Analise e indique quais alternativas abaixo são corretas. *
□ O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.
□ O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.
□ O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.
□ Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.
□ O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão
.
□ O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.
□ O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.
□ Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.
□ O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, literalmente, para ficarmos alinhados.
- Dados do processo:
- Corrente A:
, . - Corrente B:
, .
- Corrente A:
- Modelo do misturador (equação 3.1):
onde é um único termo de incerteza (uma variável escalar) a ser ajustado. - Função objetivo (erro quadrático somado, equação 3.2):
- Pergunta (as alternativas a avaliar):
- O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.
- O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.
- O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.
- Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.
- O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão
.
Passo 2
Primeiro calculemos a forma do modelo em função de
. Calculemos a mistura sem
:
O termo sem
é
O coeficiente de
é
Portanto, para qualquer ensaio
a temperatura modelada é uma função afim de
:
Observação intuitiva: a única dependência em
na expressão acima seria se o modelo tivesse parâmetros que variam com o ensaio — aqui todos os ensaios usam o mesmo modelo, então a dependência em
vem só de
(as medições).
Passo 3
Escrevamos a função objetivo explicitamente usando a forma afim encontrada. Defina
Então
Expandindo (de forma organizada):
Somando em
:
ou seja
onde
e
(constante em
).
Passo 4
A partir da forma em quadrático podemos responder às alternativas uma a uma, com justificativa curta e clara.
-
Alternativa 1: “O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.”
- O problema é unidimensional porque
é um único parâmetro escalar (dimensão 1). - A função objetivo é um polinômio quadrático de coeficiente principal
. Como , a função é estritamente convexa. Logo a alternativa 1 é verdadeira.
- O problema é unidimensional porque
-
Alternativa 2: “O problema de otimização é linear e possui múltiplas soluções ótimas.”
- Falso. O problema não é um problema de programação linear: a função objetivo é quadrática (não linear) em
. Além disso, o coeficiente quadrático é positivo, então a quadrática tem um único mínimo (não múltiplas soluções). Portanto alternativa 2 é falsa.
- Falso. O problema não é um problema de programação linear: a função objetivo é quadrática (não linear) em
-
Alternativa 3: “O problema é não linear, e a convexidade depende dos valores experimentais.”
- Embora a função objetivo seja quadrática (não linear como função de
), a convexidade NÃO depende dos valores experimentais aqui: o coeficiente quadrático vem de e é sempre positivo porque . Ou seja, independente dos , a parte quadrática é positiva e garante convexidade estrita. Portanto a segunda parte da afirmação é falsa, então a alternativa 3 é falsa.
- Embora a função objetivo seja quadrática (não linear como função de
-
Alternativa 4: “Não é possível garantir convexidade, pois a função envolve um somatório de termos quadráticos.”
- Falso. Somatório de termos quadráticos de forma afim em uma variável resulta em uma quadrática cujo coeficiente principal é soma de quadrados dos coeficientes lineares. Aqui esse coeficiente é positivo e conhecido, logo é possível garantir convexidade estrita. Alternativa 4 é falsa.
-
Alternativa 5: “O problema é multidimensional e a solução depende da matriz Hessiana de dimensão
.” - Falso. A variável de ajuste é escalar (dimensão 1). A Hessiana de
em relação a é uma matriz (ou simplesmente o valor ), não . A dimensão 5 vem do número de termos somados, mas não da dimensão do espaço de variáveis. Alternativa 5 é falsa.
- Falso. A variável de ajuste é escalar (dimensão 1). A Hessiana de
Passo 5
Complemento prático: existe um único mínimo e podemos escrevê-lo explicitamente. Derivando
e igualando a zero:
Ou seja,
Isto mostra de maneira explícita que há uma solução única e fechada, e que o problema é simples de resolver sem algoritmos complexos.
Força aí — apesar do nome assustador “otimização”, este caso é bem comportado: variável única, quadrática estritamente convexa, solução direta.
Resposta
O problema é unidimensional e a função objetivo é estritamente convexa.