Qual o menor número de toras inteiras ( rho =725 kg / m^3, raio =0,0800 m e comprimento =3,00 m) que pode ser usado para construir uma balsa que transportará quatro pessoas, cada uma delas com massa igual a 80,0 kg?

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa descobrir o menor número de toras inteiras para construir uma balsa que suporte quatro pessoas, cada uma com 80 kg. Estamos trabalhando com conceitos de flutuabilidade, especificamente o Princípio de Arquimedes. Para resolver isso, vamos precisar das informações sobre a densidade das toras, o raio e o comprimento delas, além das massas das pessoas que vão usar a balsa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total que a balsa precisa suportar. Cada pessoa tem 80 kg e são 4 pessoas:
Massa total = 4 times 80,kg = 320,kg

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo que mantém a balsa flutuando é igual ao peso da água deslocada pelas toras. Ou seja:
Empuxo total = Massa da água deslocada times g á
Como a balsa precisa suportar 320 kg, o empuxo total também precisa ser pelo menos 320 kg vezes a aceleração da gravidade $ g $, mas como $ g $ está em ambos os lados, podemos simplificar a equação sem considerá-lo explicitamente.

Passo 4

Vamos calcular o volume de uma tora. Como a tora é cilíndrica, o volume $ V $ é dado por:
V
Onde:
  • $ r = 0,0800,m $ (raio)
  • $ l = 3,00,m $ (comprimento)
Substituindo:
V = pi r^2 l

Passo 5

A densidade das toras é $ \rho = 725,kg/m^3 $. A massa de uma tora é:
rho = 725,kg/m^3

Passo 6

Para cada tora, a quantidade de água que ela desloca para flutuar é igual ao seu próprio peso mais o peso que pode suportar. Então, o peso que uma tora pode suportar é:
Peso suportado por tora = rhoágua times V times g - Massa da tora times g á
Como $ \rho_{água} = 1000,kg/m^3 $, podemos simplificar sem o $ g $:
rhoágua = 1000,kg/m^3

Passo 7

Agora, para saber quantas toras precisamos para suportar 320 kg, dividimos a massa total pelo peso que cada tora pode suportar:
n = 32016,6 approx 19,28
Como não podemos ter uma fração de tora, arredondamos para cima.

Resposta

São necessárias 20 toras inteiras para construir a balsa que suportará as quatro pessoas.

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