Os menores principais de uma matriz An times n são os determinantes das submatrizes principais ^1 de A. Se A for simétrica e todos os menores principais forem positivos (det(Ak)>0), dizemos que a matriz é positiva definida (ou simétrica positiva definida). Matrizes dessa forma admitem um tipo especial de fatoração em matrizes triangulares: A=L L^t ou A=L D L^t. No primeiro caso, L é uma matriz triangular inferior; no segundo, L é triangular inferior com 1s na diagonal e D é uma matriz diagonal.
Seja A=[ccc1 & 1 & 0 1 & 2 & -1 0 & -1 & 3]. Mostre que A é simétrica positiva definida, e calcule suas fatorações A=L L^t e A=L D L^t. (Procure A=L L^t, e tente entender quem é a matriz diagonal D para obter A=L D L^t automaticamente.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma matriz
A = 1 & 1 & 0 1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
e que, se todos os menores principais (isto é, os determinantes dos cantos de tamanho 1×1, 2×2 e 3×3) são positivos e ela é simétrica, então é positiva definida. Além disso, a gente quer achar duas fatorações especiais:
  1. (Cholesky) com triangular inferior,
  2. com triangular inferior com 1’s na diagonal e diagonal.
O que vamos precisar:
  • Saber calcular determinantes de matrizes 1×1, 2×2 e 3×3;
  • Entender a ideia do método de Cholesky (achar passo a passo);
  • Fazer a versão a partir de .

Passo 2

Mostrando que 1&11&2 é simétrica positiva definida:
  1. 2&-1-1&3 é simétrica? Sim, pois 1&-10&3.
  2. Menores principais:
    • Ordem 1: .
    • Ordem 2:
      .
    • Ordem 3:
Como todos são positivos, é positiva definida.

Passo 3

Cholesky L= ell11&0&0 ell21&ell22&0 ell31&ell32&ell33 , . Escrevemos
L= 1&0&0 1&1&0 0&-1&raiz2 ,
e impomos .
Então
e de fato .

Passo 4

Agora L= 1&0&0 1&1&0 0&-1&1 , D= 1&0&0 0&1&0 0&0&2 , . Basta usar a mesma lógica, mas forçando ter 1’s na diagonal e guardar os pivôs em .
  1. .
Portanto
e fica .

Resposta

  • 1&0&0 1&1&0 0&-1&raiz2 é simétrica positiva definida (todos os menores principais positivos).
  • Fatoração Cholesky:
    1&0&0 1&1&0 0&-1&1
  • Fatoração :

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