Os menores principais de uma matriz são os determinantes das submatrizes principais de . Se for simétrica e todos os menores principais forem positivos , dizemos que a matriz é positiva definida (ou simétrica positiva definida). Matrizes dessa forma admitem um tipo especial de fatoração em matrizes triangulares: ou . No primeiro caso, é uma matriz triangular inferior; no segundo, é triangular inferior com 1s na diagonal e é uma matriz diagonal.
Seja . Mostre que A é simétrica positiva definida, e calcule suas fatorações A=L L^t e A=L D L^t. (Procure A=L L^t, e tente entender quem é a matriz diagonal D para obter A=L D L^t automaticamente.)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma matriz
A = 1 & 1 & 0 1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
e que, se todos os menores principais (isto é, os determinantes dos cantos de tamanho 1×1, 2×2 e 3×3) são positivos e ela é simétrica, então é positiva definida. Além disso, a gente quer achar duas fatorações especiais:
(Cholesky) com triangular inferior,
com triangular inferior com 1’s na diagonal e diagonal.
O que vamos precisar:
Saber calcular determinantes de matrizes 1×1, 2×2 e 3×3;
Entender a ideia do método de Cholesky (achar passo a passo);
Fazer a versão a partir de .
Passo 2
Mostrando que 1&11&2 é simétrica positiva definida: