Resolva o sistema abaixo por meio da fatoração LU da matriz de coeficientes, utilizando pivoteamento parcial.
x1+2 x2-x3 & =2 2 x1+4 x2 & =-2 x2-x3 & =1

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver o sistema
x1 + 2x2 - x3 = 2 2x1 + 4x2 = -2 x2 - x3 = 1
usando fatoração LU com pivoteamento parcial.
Conteúdo: Decompor a matriz de coeficientes em , onde é a matriz de permutação (troca de linhas), é triangular inferior e é triangular superior. Depois, resolver (substituição progressiva) e (substituição regressiva).

Passo 2

Escreve a matriz A = 1 & 2 & -1 2 & 4 & 0 0 & 1 & -1 , b = 2-21 e o vetor P1 = 0&1&01&0&00&0&1, P1A = 2&4&01&2&-10&1&-1 :
No pivoteamento parcial, na coluna 1 o maior valor absoluto é 2 (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2:

Passo 3

Agora fazemos Doolittle (zerar abaixo do pivô):
  • Multiplicador L^(1)=1&0&0tfrac12&1&00&0&1, U^(1)=2&4&00&0&-10&1&-1 .
    Linha2 ← Linha2 – ·Linha1 ⇒
    .
  • Multiplicador (já é zero).
Até aqui

Passo 4

Segunda etapa de pivoteamento: na coluna 2, entre as linhas 2 e 3 de P2 U^(1) = 2&4&0 0&1&-1 0&0&-1 , L = P2 L^(1) P2 = 1&0&0 0&1&0 tfrac12&0&1 , os valores são PA = LU, U = 2&4&00&1&-10&0&-1 e . O maior é na linha 3, então trocamos linha 2 com 3. Isso gera uma nova permutação . Ao trocar em e também “alinhar” , ficamos com
No fim, a permutação total é , e temos

Passo 5

Agora vamos resolver Pb = P2P1,2-21 ;longrightarrow; P1b = -221, P2(P1b)=-212 . Primeiro computa L,y = 1&0&00&1&0tfrac12&0&1 y1y2y3 = -212 :

Logo
[
L,y =

.
]
Fazendo substituição progressiva:
y₁ = –2
y₂ = 1
y₃ – ½·y₁ = 2 ⇒ y₃ – ½·(–2) = 2 ⇒ y₃ +1 =2 ⇒ y₃ =1

Passo 6

Agora 2&4&0 0&1&-1 0&0&-1 x1x2x3 = -211 :
[

.
]
Substituição regressiva:
Da 3ª eq: .
Da 2ª eq: .
Da 1ª eq: .

Resposta

boxedx1 = -1, x2 = 0, x3 = -1

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