Resolva o sistema abaixo por meio da fatoração LU da matriz de coeficientes, utilizando pivoteamento parcial.
Passo 1
Beleza, a gente tem que resolver o sistema
x1 + 2x2 - x3 = 2 2x1 + 4x2 = -2 x2 - x3 = 1
usando fatoração LU com pivoteamento parcial.
Conteúdo: Decompor a matriz de coeficientes em , onde é a matriz de permutação (troca de linhas), é triangular inferior e é triangular superior. Depois, resolver (substituição progressiva) e (substituição regressiva).
Passo 2
Escreve a matriz A = 1 & 2 & -1 2 & 4 & 0 0 & 1 & -1 , b = 2-21 e o vetor P1 = 0&1&01&0&00&0&1, P1A = 2&4&01&2&-10&1&-1 :
No pivoteamento parcial, na coluna 1 o maior valor absoluto é 2 (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2:
Segunda etapa de pivoteamento: na coluna 2, entre as linhas 2 e 3 de P2 U^(1) = 2&4&0 0&1&-1 0&0&-1 , L = P2 L^(1) P2 = 1&0&0 0&1&0 tfrac12&0&1 , os valores são PA = LU, U = 2&4&00&1&-10&0&-1 e . O maior é na linha 3, então trocamos linha 2 com 3. Isso gera uma nova permutação . Ao trocar em e também “alinhar” , ficamos com