Num mercado de valores três corretoras A, B e C são responsáveis por 20 %, 30 % e 50 % do tudo volumen de contratos negociados. Do volume de cada corretora 3 %, 5 % e 2 %, respectivamente, são contratos que tiverão perdas na ultima operação. Um contrato é escolhido ao acaso e este resulta ser de aqueles que tiverão perdas. Qual é a probabilidade de ter sido negociado pela corretora A. E pela corretora C.

Passo 1

Beleza, aqui vai um resumão do que o enunciado diz e o que a gente vai usar:
Você tem três corretoras A, B e C que negociam 20%, 30% e 50% do volume total, respectivamente. Dessas, 3% dos contratos da A deram prejuízo, 5% dos da B deram prejuízo e 2% dos da C deram prejuízo. A pergunta é: se eu escolho um contrato no escuro e sei que ele deu prejuízo, qual a chance de ele vir da A? E da C?
Conteúdo: probabilidade total e Teorema de Bayes. Vamos precisar calcular a probabilidade de prejuízo geral e depois usar Bayes pra encontrar P(A|preju) e P(C|preju).

Passo 2

Primeiro, revisando a teoria:
  1. Probabilidade total (ou lei da probabilidade total) diz que, se os eventos A, B e C formam uma partição, então
P(prejuízo) = P(A),P(prejuízo|A) + P(B),P(prejuízo|B) + P(C),P(prejuízo|C)íííí
  1. Teorema de Bayes diz que, por exemplo,
P(A mid prejuízo) = P(A),P(prejuízo|A)P(prejuízo)ííí
A mesma fórmula vale pra C.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade total de prejuízo:
P(prejuízo) = 0.20cdot0.03 + 0.30cdot0.05 + 0.50cdot0.02í
Isso dá
P(prejuízo) = 0.006 + 0.015 + 0.010 = 0.031í

Passo 4

Agora, aplicando Bayes pra corretora A:
P(A mid prejuízo) = 0.20 times 0.030.031 = 0.0060.031 approx 0.19355(approx19,36%)í

Passo 5

Mesma ideia pra corretora C:
P(C mid prejuízo) = 0.50 times 0.020.031 = 0.0100.031 approx 0.32258(approx32,26%)í

Resposta

P(A dado prejuízo) ≈ 19,36%
P(C dado prejuízo) ≈ 32,26%

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