Para a mesma EDO anterior, y^{\prime}=-x y, resolva considerando uma condição inicial y\left(x_{0}\right)=y_{0}, com x_{0}=0 e y_{0}=1.

Resolução:

y=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária com condição inicial dada. As informações fornecidas são:
  • A EDO: \displaystyle y' = -x\,y.
  • A condição inicial geral: \displaystyle y(x_0)=y_0.
  • Valores específicos: \displaystyle x_0=0 e \displaystyle y_0=1.
Queremos encontrar a função \displaystyle y(x) que satisfaz a EDO para todo x do domínio considerado e que verifica \displaystyle y(0)=1.

Passo 2

Escrevendo a derivada de forma explícita, temos
\frac{dy}{dx} = -x\,y.
Aqui \displaystyle x é a variável independente e \displaystyle y é a função desconhecida de x. A expressão diz que a taxa de variação de \displaystyle y com relação a \displaystyle x é igual a menos \displaystyle x vezes o próprio \displaystyle y.

Passo 3

Observação importante sobre dividir por \displaystyle y: se \displaystyle y\equiv 0 (a função identicamente zero) então a EDO é satisfeita, pois \displaystyle y'=0 e \displaystyle -x\cdot 0=0. Essa é uma solução trivial. Porém, nossa condição inicial é \displaystyle y(0)=1, portanto a solução trivial não serve aqui. Para continuar, podemos dividir ambos os lados por \displaystyle y assumindo \displaystyle y\neq 0 na vizinhança onde aplicamos a separação.

Passo 4

A equação é separável: podemos recolher termos em y de um lado e termos em x do outro. Fazendo isso,
\frac{1}{y}\,dy = -x\,dx.
Expliquei: a ideia de separação de variáveis é escrever a diferencial de modo que uma integral dependa só de y e a outra só de x, para então integrar ambos os lados.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Lembrando que \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C e \displaystyle \int -x\,dx = -\frac{x^2}{2} + C, obtemos
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -x\,dx
\Rightarrow \ln|y| = -\frac{x^2}{2} + C,
onde \displaystyle C é uma constante de integração (um número real que aparece quando integramos).

Passo 6

Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados. Fazendo isso:
|y| = e^{-\frac{x^2}{2} + C} = e^{C}\,e^{-\frac{x^2}{2}}.
Definimos uma nova constante positiva \displaystyle C_1 = e^{C}>0. Assim |y| = C_1 e^{-x^2/2}. Podemos então absorver o sinal em uma constante real arbitrária \displaystyle C (isto é, tomar \displaystyle C=\pm C_1), obtendo a forma geral da solução:
y(x) = C\,e^{-\frac{x^2}{2}},
onde \displaystyle C é uma constante real qualquer (incluindo \displaystyle C=0, que recupera a solução trivial).

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial \displaystyle y(0)=1. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0) = C\,e^{-\frac{0^2}{2}} = C\cdot e^{0} = C.
Como queremos \displaystyle y(0)=1, segue que \displaystyle C=1.

Passo 8

Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}.
Para ter certeza rápida, fazemos um checagem: derivando essa função,
\frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) = e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot\left(-x\right) = -x\,e^{-\frac{x^2}{2}} = -x\,y,
logo satisfaz a EDO, e temos y(0)=e^{0}=1, então está tudo consistente.

Resposta

y(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}

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