Para a mesma EDO anterior,
, resolva considerando uma condição inicial
, com
e
.
Resolução:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária com condição inicial dada. As informações fornecidas são:
- A EDO:
. - A condição inicial geral:
. - Valores específicos:
e .
Queremos encontrar a função
que satisfaz a EDO para todo
do domínio considerado e que verifica
.
Passo 2
Escrevendo a derivada de forma explícita, temos
Aqui
é a variável independente e
é a função desconhecida de
. A expressão diz que a taxa de variação de
com relação a
é igual a menos
vezes o próprio
.
Passo 3
Observação importante sobre dividir por
: se
(a função identicamente zero) então a EDO é satisfeita, pois
e
. Essa é uma solução trivial. Porém, nossa condição inicial é
, portanto a solução trivial não serve aqui. Para continuar, podemos dividir ambos os lados por
assumindo
na vizinhança onde aplicamos a separação.
Passo 4
A equação é separável: podemos recolher termos em
de um lado e termos em
do outro. Fazendo isso,
Expliquei: a ideia de separação de variáveis é escrever a diferencial de modo que uma integral dependa só de
e a outra só de
, para então integrar ambos os lados.
Passo 5
Integramos ambos os lados. Lembrando que
e
, obtemos
onde
é uma constante de integração (um número real que aparece quando integramos).
Passo 6
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados. Fazendo isso:
Definimos uma nova constante positiva
. Assim
. Podemos então absorver o sinal em uma constante real arbitrária
(isto é, tomar
), obtendo a forma geral da solução:
onde
é uma constante real qualquer (incluindo
, que recupera a solução trivial).
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Como queremos
, segue que
.
Passo 8
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Para ter certeza rápida, fazemos um checagem: derivando essa função,
logo satisfaz a EDO, e temos
, então está tudo consistente.