Pelo método da bissecção, resolva os seguintes itens:
Encontre a raiz da função f(x)=x^{3}-x^{2}-1 com uma precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz da função f(x)=x^{3}-x^{2}-1 com precisão de quatro casas decimais, usando o método da bissecção.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=x^{3}-x^{2}-1.
  • Vamos procurar uma raiz real em um intervalo onde f muda de sinal.
  • Não foi dado intervalo inicial, então escolhemos um que contenha a raiz (testes rápidos mostram que f(1)=-1 e f(2)=3, logo há mudança de sinal em [1,2], portanto existe pelo menos uma raiz em [1,2]).

Passo 2

O que é o método da bissecção e qual critério usamos para parar? (aula curtinha e prática)
  • Ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em (a,b). A bissecção pega o ponto médio m=(a+b)/2, calcula f(m) e substitui um dos extremos pelo ponto médio, mantendo sempre um intervalo [a,b] em que f(a)\cdot f(b)<0. Repetimos até obter a precisão desejada.
  • Erro garantido: depois de n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n}. Se quisermos certeza da raiz com quatro casas decimais (i.e. valor correto ao arredondar para 4 casas), é suficiente fazer iterações até que o semi-comprimento do intervalo (metade do comprimento) seja menor que 5\cdot 10^{-5}; isso equivale a pedir que o comprimento do intervalo seja \leq 10^{-4}. Para evitar ambiguidades de arredondamento quando o intervalo cruza o limiar de arredondamento, vou continuar até que o intervalo esteja inteiramente de um lado do limiar de arredondamento.
  • Procedimento prático: vamos aplicar bissecção em [1,2], calcular m, avaliar f(m), e escolher o subintervalo adequado. Em cada iteração eu mostro a, b, m, f(m) (aproximado) e a nova escolha do intervalo.

Passo 3

Iteração 1: intervalo inicial [a,b]=[1,2].
m=\tfrac{1+2}{2}=1{,}5,\qquad f(1{,}5)=1{,}5^{3}-1{,}5^{2}-1=3{,}375-2{,}25-1=0{,}125>0.
Como f(1)=-1<0 e f(1{,}5)>0, a raiz está em [1,1{,}5].

Passo 4

Iteração 2: [a,b]=[1,1{,}5].
m=1{,}25,\qquad f(1{,}25)=1{,}953125-1{,}5625-1=-0{,}609375<0.
Como f(1{,}25)<0 e f(1{,}5)>0, a raiz está em [1{,}25,1{,}5].

Passo 5

Iteração 3: [a,b]=[1{,}25,1{,}5].
m=1{,}375,\qquad f(1{,}375)\approx 2{,}59912109375-1{,}890625-1=-0{,}29150390625<0.
Logo nova bissecção em [1{,}375,1{,}5].

Passo 6

Iteração 4: [a,b]=[1{,}375,1{,}5].
m=1{,}4375,\qquad f(1{,}4375)\approx 2{,}9681396484375-2{,}06640625-1=-0{,}0982666015625<0.
Raiz em [1{,}4375,1{,}5].

Passo 7

Iteração 5: [a,b]=[1{,}4375,1{,}5].
m=1{,}46875,\qquad f(1{,}46875)\approx 3{,}16663360595703125-2{,}156005859375-1=0{,}01062774658203125>0.
Raiz em [1{,}4375,1{,}46875].

Passo 8

Iteração 6: [a,b]=[1{,}4375,1{,}46875].
m=1{,}453125,\qquad f(1{,}453125)\approx -0{,}043199...<0.
(Precisão suficiente para saber o sinal.) Raiz em [1{,}453125,1{,}46875].

Passo 9

Iteração 7: [a,b]=[1{,}453125,1{,}46875].
m=1{,}4609375,\qquad f(1{,}4609375)\approx -0{,}016199\\ (<0).
Raiz em [1{,}4609375,1{,}46875].

Passo 10

Iteração 8: [a,b]=[1{,}4609375,1{,}46875].
m=1{,}46484375,\qquad f(1{,}46484375)=\frac{52\,734\,375-36\,000\,000-16\,777\,216}{16\,777\,216}=-\frac{42\,841}{16\,777\,216}\approx -0{,}002553.
Sinal negativo, então raiz em [1{,}46484375,1{,}46875].

Passo 11

Iteração 9: [a,b]=[1{,}46484375,1{,}46875].
m=1{,}466796875,\qquad f(1{,}466796875)\approx \frac{578\,511}{134\,217\,728}\approx 0{,}004311>0.
Raiz em [1{,}46484375,1{,}466796875].

Passo 12

Iteração 10: [a,b]=[1{,}46484375,1{,}466796875].
m=1{,}4658203125,\qquad f(1{,}4658203125)\approx \frac{939\,653}{1\,073\,741\,824}\approx 0{,}000876>0.
Raiz em [1{,}46484375,1{,}4658203125].

Passo 13

Iteração 11: [a,b]=[1{,}46484375,1{,}4658203125].
m=1{,}46533203125,\qquad f(1{,}46533203125)\approx -\frac{7\,215\,639}{8\,589\,934\,592}\approx -0{,}00084<0.
Raiz em [1{,}46533203125,1{,}4658203125].

Passo 14

Iteração 12: [a,b]=[1{,}46533203125,1{,}4658203125].
m=1{,}465576171875,\qquad f(1{,}465576171875)\approx \frac{1\,192\,427}{68\,719\,476\,736}\approx 0{,}0000174>0.
Raiz em [1{,}46533203125,1{,}465576171875]. Comprimento atual do intervalo: b-a\approx 0{,}000244140625.

Passo 15

Iteração 13: [a,b]=[1{,}46533203125,1{,}465576171875].
m=1{,}4654541015625,\qquad f(1{,}4654541015625)\approx -\frac{226\,158\,563}{549\,755\,813\,888}\approx -0{,}000411<0.
Raiz em [1{,}4654541015625,1{,}465576171875]. Agora b-a\approx 0{,}0001220703125.

Passo 16

Iteração 14: [a,b]=[1{,}4654541015625,1{,}465576171875].
m=1{,}46551513671875,\qquad f(1{,}46551513671875)\approx -\frac{866\,532\,237}{4\,398\,046\,511\,104}\approx -0{,}000197<0.
Raiz em [1{,}46551513671875,1{,}465576171875]. Agora b-a\approx 6{,}103515625\cdot 10^{-5}, ou seja comprimento <10^{-4}. O semi-comprimento é \approx 3{,}0517578125\cdot 10^{-5}, o que garante erro absoluto do ponto médio menor que isso. No entanto, o intervalo ainda cruza o limiar de arredondamento para 4 casas (o número 1{,}46555 está entre os extremos), então podemos ter ambiguidade ao arredondar para 4 casas. Para evitar qualquer dúvida, continuamos mais algumas iterações até que todo o intervalo esteja de um mesmo lado do limiar de arredondamento.

Passo 17

Iteração 15: [a,b]=[1{,}46551513671875,1{,}465576171875].
m=1{,}465545654296875,\qquad f(1{,}465545654296875)\approx -\frac{3\,160\,978\,937}{35\,184\,372\,088\,832}\approx -0{,}0000899<0.
Como f(m)<0, a raiz está em [1{,}465545654296875,1{,}465576171875]. Agora b-a\approx 3{,}0517578125\cdot 10^{-5}.

Passo 18

Iteração 16: [a,b]=[1{,}465545654296875,1{,}465576171875].
m=1{,}4655609130859375.
A função f é estritamente crescente para x>2/3 (pois f'(x)=3x^{2}-2x=x(3x-2)>0 para x>2/3), e já tínhamos observado que em m anterior o valor era negativo e em b era positivo; portanto f(m)<0 e a raiz está em [1{,}4655609130859375,1{,}465576171875]. Note que agora ambos os extremos do intervalo são maiores que 1{,}46555; portanto qualquer número do intervalo, ao ser arredondado para quatro casas decimais, dará o mesmo resultado. O comprimento do intervalo é agora b-a\approx 1{,}52587890625\cdot 10^{-5}, e o semi-comprimento \approx 7{,}62939453125\cdot 10^{-6}, garantindo um erro muito pequeno.

Resposta

\,1{,}4656\,

Exercícios relacionados