Pelo método da bissecção, resolva os seguintes itens:
Encontre a raiz da função
com uma precisão de quatro casas decimais.
Encontre a raiz da função
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz da função
com precisão de quatro casas decimais, usando o método da bissecção.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - Vamos procurar uma raiz real em um intervalo onde
muda de sinal. - Não foi dado intervalo inicial, então escolhemos um que contenha a raiz (testes rápidos mostram que
e , logo há mudança de sinal em , portanto existe pelo menos uma raiz em ).
Passo 2
O que é o método da bissecção e qual critério usamos para parar? (aula curtinha e prática)
- Ideia: se
é contínua em e , existe pelo menos uma raiz em . A bissecção pega o ponto médio , calcula e substitui um dos extremos pelo ponto médio, mantendo sempre um intervalo em que . Repetimos até obter a precisão desejada. - Erro garantido: depois de
iterações o comprimento do intervalo é . Se quisermos certeza da raiz com quatro casas decimais (i.e. valor correto ao arredondar para 4 casas), é suficiente fazer iterações até que o semi-comprimento do intervalo (metade do comprimento) seja menor que ; isso equivale a pedir que o comprimento do intervalo seja . Para evitar ambiguidades de arredondamento quando o intervalo cruza o limiar de arredondamento, vou continuar até que o intervalo esteja inteiramente de um lado do limiar de arredondamento. - Procedimento prático: vamos aplicar bissecção em
, calcular , avaliar , e escolher o subintervalo adequado. Em cada iteração eu mostro , , , (aproximado) e a nova escolha do intervalo.
Passo 3
Iteração 1: intervalo inicial
.
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 4
Iteração 2:
.
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 5
Iteração 3:
.
Logo nova bissecção em
.
Passo 6
Iteração 4:
.
Raiz em
.
Passo 7
Iteração 5:
.
Raiz em
.
Passo 8
Iteração 6:
.
(Precisão suficiente para saber o sinal.) Raiz em
.
Passo 9
Iteração 7:
.
Raiz em
.
Passo 10
Iteração 8:
.
Sinal negativo, então raiz em
.
Passo 11
Iteração 9:
.
Raiz em
.
Passo 12
Iteração 10:
.
Raiz em
.
Passo 13
Iteração 11:
.
Raiz em
.
Passo 14
Iteração 12:
.
Raiz em
. Comprimento atual do intervalo:
.
Passo 15
Iteração 13:
.
Raiz em
. Agora
.
Passo 16
Iteração 14:
.
Raiz em
. Agora
, ou seja comprimento
. O semi-comprimento é
, o que garante erro absoluto do ponto médio menor que isso. No entanto, o intervalo ainda cruza o limiar de arredondamento para 4 casas (o número
está entre os extremos), então podemos ter ambiguidade ao arredondar para 4 casas. Para evitar qualquer dúvida, continuamos mais algumas iterações até que todo o intervalo esteja de um mesmo lado do limiar de arredondamento.
Passo 17
Iteração 15:
.
Como
, a raiz está em
. Agora
.
Passo 18
Iteração 16:
.
A função
é estritamente crescente para
(pois
para
), e já tínhamos observado que em
anterior o valor era negativo e em
era positivo; portanto
e a raiz está em
. Note que agora ambos os extremos do intervalo são maiores que
; portanto qualquer número do intervalo, ao ser arredondado para quatro casas decimais, dará o mesmo resultado. O comprimento do intervalo é agora
, e o semi-comprimento
, garantindo um erro muito pequeno.