[01] Use o método da bisseção para resolver a equação x^{2}+\ln (x)=0, \operatorname{com} \epsilon=0.01 (precisão desejada).
  • Sugestão: inicie com o intervalo [a, b], onde a=0.1 e b=1.
  • Após encontrar a raiz aproximada x^{*} com o método, mostre que, para a precisão desejada, o número mínimo de iterações que deve ser executado é dado por n>5.4918. Ou seja, conclua que o número de iterações deve ser n \geq 6.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, pelo método da bisseção, a equação x^{2}+\ln(x)=0 com precisão desejada \epsilon=0{,}01, começando no intervalo sugerido [a,b]=[0{,}1,\,1].
Informações dadas e perguntas a responder:
  • Função: f(x)=x^{2}+\ln(x).
  • Intervalo inicial: [a,b]=[0{,}1,\,1].
  • Precisão desejada: \epsilon=0{,}01.
  • Usar o método da bisseção para obter uma raiz aproximada x^{*} com essa precisão.
  • Mostrar que o número mínimo de iterações exigido satisfaz n>5{,}4918 e concluir n\ge 6.

Passo 2

Breve explicação (passo-a-passo) do método da bisseção e do critério de parada (didático):
  • O método da bisseção exige um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio m=\frac{a+b}{2}. Avaliamos f(m). Se f(m)=0 encontramos a raiz exata; se não, escolhemos o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde f muda de sinal (ou seja, onde f(a)\cdot f(m)<0 ou f(m)\cdot f(b)<0).
  • Após n iterações o comprimento do intervalo atual é \dfrac{b-a}{2^{n}}. Um estimador natural da raiz é o ponto médio do intervalo atual; o erro absoluto desse estimador é no máximo metade do comprimento do intervalo, ou seja
\left|x^{*}-\text{aprox}\right|\le \frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
  • Para garantir erro \le \epsilon precisamos escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{\,n+1}}\le \epsilon.
Vou usar exatamente esse critério para determinar o número mínimo de iterações e, em seguida, executar as iterações até atingir a precisão.

Passo 3

Verificação de que há mudança de sinal no intervalo inicial (necessário para aplicar bisseção):
  • Calculo f(0{,}1)= (0{,}1)^{2}+\ln(0{,}1)=0{,}01+\ln(0{,}1). Como \ln(0{,}1)=-2{,}302585\dots, temos
f(0{,}1)\approx 0{,}01-2{,}302585\approx -2{,}292585<0.
  • Calculo f(1)=1^{2}+\ln(1)=1+0=1>0.
Como f(0{,}1)<0 e f(1)>0, existe pelo menos uma raiz em (0{,}1,\,1) e podemos aplicar o método da bisseção.

Passo 4

Iteração 1:
  • Ponto médio m_{1}=\frac{0{,}1+1}{2}=0{,}55.
  • Avaliação: f(0{,}55)=0{,}55^{2}+\ln(0{,}55)=0{,}3025+\ln(0{,}55). Como \ln(0{,}55)\approx -0{,}597837,
f(0{,}55)\approx 0{,}3025-0{,}597837\approx -0{,}295337<0.
  • Como f(0{,}55) é negativo e f(1) é positivo, o subintervalo que contém a raiz é [0{,}55,\,1].

Passo 5

Iteração 2:
  • Novo intervalo [a,b]=[0{,}55,\,1]. Ponto médio
m_{2}=\frac{0{,}55+1}{2}=0{,}775.
  • Avaliação: f(0{,}775)=0{,}775^{2}+\ln(0{,}775)=0{,}600625+\ln(0{,}775). Como \ln(0{,}775)\approx -0{,}255413,
f(0{,}775)\approx 0{,}600625-0{,}255413\approx 0{,}345212>0.
  • Como f(0{,}55)<0 e f(0{,}775)>0, o subintervalo que contém a raiz é [0{,}55,\,0{,}775].

Passo 6

Iteração 3:
  • Novo intervalo [a,b]=[0{,}55,\,0{,}775]. Ponto médio
m_{3}=\frac{0{,}55+0{,}775}{2}=0{,}6625.
  • Avaliação: f(0{,}6625)=0{,}6625^{2}+\ln(0{,}6625)=0{,}43890625+\ln(0{,}6625). Estimando \ln(0{,}6625)\approx -0{,}411715,
f(0{,}6625)\approx 0{,}43890625-0{,}411715\approx 0{,}02719>0.
  • Como f(0{,}55)<0 e f(0{,}6625)>0, o subintervalo que contém a raiz é [0{,}55,\,0{,}6625].

Passo 7

Iteração 4:
  • Novo intervalo [a,b]=[0{,}55,\,0{,}6625]. Ponto médio
m_{4}=\frac{0{,}55+0{,}6625}{2}=0{,}60625.
  • Avaliação: f(0{,}60625)=0{,}60625^{2}+\ln(0{,}60625)\approx 0{,}36753906+\ln(0{,}60625). Estimando \ln(0{,}60625)\approx -0{,}5005,
f(0{,}60625)\approx 0{,}36753906-0{,}5005\approx -0{,}13296<0.
  • Como f(0{,}60625)<0 e f(0{,}6625)>0, o subintervalo que contém a raiz é [0{,}60625,\,0{,}6625].

Passo 8

Iteração 5:
  • Novo intervalo [a,b]=[0{,}60625,\,0{,}6625]. Ponto médio
m_{5}=\frac{0{,}60625+0{,}6625}{2}=0{,}634375.
  • Avaliação: f(0{,}634375)=0{,}634375^{2}+\ln(0{,}634375)\approx 0{,}4024316+\ln(0{,}634375). Estimando \ln(0{,}634375)\approx -0{,}45509,
f(0{,}634375)\approx 0{,}4024316-0{,}45509\approx -0{,}05266<0.
  • Como f(0{,}634375)<0 e f(0{,}6625)>0, o subintervalo que contém a raiz é [0{,}634375,\,0{,}6625].

Passo 9

Iteração 6:
  • Novo intervalo [a,b]=[0{,}634375,\,0{,}6625]. Ponto médio
m_{6}=\frac{0{,}634375+0{,}6625}{2}=0{,}6484375.
  • Avaliação: f(0{,}6484375)=0{,}6484375^{2}+\ln(0{,}6484375)\approx 0{,}42048+\ln(0{,}6484375). Estimando \ln(0{,}6484375)\approx -0{,}43277,
f(0{,}6484375)\approx 0{,}42048-0{,}43277\approx -0{,}01229<0.
  • Como f(0{,}6484375)<0 e f(0{,}6625)>0, o novo intervalo após a 6ª iteração é
[a_{6},b_{6}]=[0{,}6484375,\,0{,}6625].

Passo 10

Calcular o aproximado final e verificar a precisão:
  • Após n=6 iterações o comprimento do intervalo é
\frac{b-a}{2^{6}}=\frac{0{,}9}{64}=0{,}0140625.
  • O estimador (ponto médio do intervalo atual) é
x^{*}=\frac{a_{6}+b_{6}}{2}=\frac{0{,}6484375+0{,}6625}{2}=0{,}65546875.
  • O erro máximo garantido é a metade do comprimento do intervalo:
\left|x^{*}-\text{raiz}\right|\le \frac{0{,}0140625}{2}=0{,}00703125<0{,}01,
portanto a precisão desejada \epsilon=0{,}01 foi atingida depois de 6 iterações. Observação: nas iterações anteriores o ponto médio usado para teste foi m_{6}=0{,}6484375, mas o estimador final que garante o erro é o ponto médio do intervalo resultante depois da atualização, que aqui é x^{*}=0{,}65546875.

Passo 11

Mostrar o cálculo teórico do número mínimo de iterações:
  • Queremos n tal que \dfrac{b-a}{2^{\,n+1}}\le \epsilon. Com b-a=0{,}9 e \epsilon=0{,}01,
\frac{0{,}9}{2^{\,n+1}}\le 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{\,n+1}\ge \frac{0{,}9}{0{,}01}=90.
  • Tomando logaritmo na base 2,
n+1\ge \log_{2}(90)=\frac{\ln(90)}{\ln(2)}.
  • Calculando numericamente \ln(90)\approx 4{,}49980967 e \ln(2)\approx 0{,}69314718,
n+1\ge \frac{4{,}49980967}{0{,}69314718}\approx 6{,}49185,
logo
n\ge 6{,}49185-1\approx 5{,}49185.
  • Assim obtemos n>5{,}4918, portanto o menor n inteiro que satisfaz a condição é n=6. Isso confirma teoricamente que são necessárias pelo menos 6 iterações para garantir erro \le 0{,}01.

Resposta

x^{*}\approx 0{,}65546875
Número mínimo de iterações: n\ge 6

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