[01] Use o método da bisseção para resolver a equação
(precisão desejada).
- Sugestão: inicie com o intervalo
, onde
e
.
- Após encontrar a raiz aproximada
com o método, mostre que, para a precisão desejada, o número mínimo de iterações que deve ser executado é dado por
. Ou seja, conclua que o número de iterações deve ser
.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, pelo método da bisseção, a equação
com precisão desejada
, começando no intervalo sugerido
.
Informações dadas e perguntas a responder:
- Função:
- Intervalo inicial:
. - Precisão desejada:
. - Usar o método da bisseção para obter uma raiz aproximada
com essa precisão. - Mostrar que o número mínimo de iterações exigido satisfaz
e concluir .
Passo 2
Breve explicação (passo-a-passo) do método da bisseção e do critério de parada (didático):
- O método da bisseção exige um intervalo
tal que e tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração calculamos o ponto médio
Avaliamos . Se encontramos a raiz exata; se não, escolhemos o subintervalo ou onde muda de sinal (ou seja, onde ou ). - Após
iterações o comprimento do intervalo atual é . Um estimador natural da raiz é o ponto médio do intervalo atual; o erro absoluto desse estimador é no máximo metade do comprimento do intervalo, ou seja
- Para garantir erro
precisamos escolher tal que
Vou usar exatamente esse critério para determinar o número mínimo de iterações e, em seguida, executar as iterações até atingir a precisão.
Passo 3
Verificação de que há mudança de sinal no intervalo inicial (necessário para aplicar bisseção):
- Calculo
Como , temos
- Calculo
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
e podemos aplicar o método da bisseção.
Passo 4
Iteração 1:
- Ponto médio
- Avaliação:
Como ,
- Como
é negativo e é positivo, o subintervalo que contém a raiz é .
Passo 5
Iteração 2:
- Novo intervalo
. Ponto médio
- Avaliação:
Como ,
- Como
e , o subintervalo que contém a raiz é .
Passo 6
Iteração 3:
- Novo intervalo
. Ponto médio
- Avaliação:
Estimando ,
- Como
e , o subintervalo que contém a raiz é .
Passo 7
Iteração 4:
- Novo intervalo
. Ponto médio
- Avaliação:
Estimando ,
- Como
e , o subintervalo que contém a raiz é .
Passo 8
Iteração 5:
- Novo intervalo
. Ponto médio
- Avaliação:
Estimando ,
- Como
e , o subintervalo que contém a raiz é .
Passo 9
Iteração 6:
- Novo intervalo
. Ponto médio
- Avaliação:
Estimando ,
- Como
e , o novo intervalo após a 6ª iteração é
Passo 10
Calcular o aproximado final e verificar a precisão:
- Após
iterações o comprimento do intervalo é
- O estimador (ponto médio do intervalo atual) é
- O erro máximo garantido é a metade do comprimento do intervalo:
portanto a precisão desejada
foi atingida depois de 6 iterações. Observação: nas iterações anteriores o ponto médio usado para teste foi
, mas o estimador final que garante o erro é o ponto médio do intervalo resultante depois da atualização, que aqui é
.
Passo 11
Mostrar o cálculo teórico do número mínimo de iterações:
- Queremos
tal que . Com e ,
- Tomando logaritmo na base 2,
- Calculando numericamente
e ,
logo
- Assim obtemos
, portanto o menor inteiro que satisfaz a condição é . Isso confirma teoricamente que são necessárias pelo menos 6 iterações para garantir erro .
Resposta
Número mínimo de iterações: