- Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função a ser aproximada é
. - O intervalo considerado é
. - Queremos encontrar uma reta (função afim)
que seja “a mais próxima” de em todo o intervalo .
Pergunta explícita:
- Qual é a equação da reta
que minimiza o erro com no intervalo ?
Passo 2
Entendimento do que significa “reta mais próxima” e escolha do método (explicação didática).
- Aqui vamos entender “mais próxima” como minimizar o erro quadrático médio ao longo do intervalo, isto é, minimizar a área sob o quadrado da diferença entre
e . Isso é natural para medir proximidade: penaliza diferenças grandes e dá uma medida global no intervalo. - Formalmente, definimos a função erro (energia)
- Vamos escolher
e que minimizam . Esse é o método dos mínimos quadrados contínuos (projeção de no espaço das funções lineares sob o produto interno ). - Intuição rápida e útil: no mínimo, o erro residual
é ortogonal (no sentido do produto interno acima) a todas as funções da família que estamos usando para aproximar — aqui, às funções e . Isso gera equações simples para e .
Passo 3
Escrever as condições normais (equações de ortogonalidade) e explicar cada termo.
- Queremos
mínimo. Derivando em relação a e e anulando, ou usando a condição de ortogonalidade, obtemos as duas equações:
e
- Essas equações significam que o resíduo
tem média zero no intervalo (primeira equação) e que é ortogonal à função (segunda equação). - Agora vamos substituir
e nessas equações e calcular.
Passo 4
Primeira equação: média zero do resíduo. Substituição e simplificação passo a passo.
- Começamos com
- Separando integrais:
- Calcule cada integral explicitamente:
-
(função ímpar sobre intervalo simétrico). -
. -
(função ímpar).
-
- Substituindo:
- Simplificando:
- Logo,
Passo 5
Segunda equação: ortogonalidade em relação a
. Substituição e organização.
- A segunda condição é
- Expandindo o integrando:
- Vamos calcular cada integral separadamente e usar o valor já encontrado de
quando conveniente.
Passo 6
Cálculo das integrais da segunda equação, com atenção à paridade das funções.
- Calcule:
-
(par, dobramos a integral em ). -
(ímpar). -
(par). -
.
-
- Substituindo na equação:
- Isolando
:
- Portanto,
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida.
- Encontramos os coeficientes
e :
- Esses valores vêm das condições de ortogonalidade do resíduo com
e com , garantindo que a reta encontrada minimiza o integral do quadrado do erro em . - Pode-se também verificar rapidamente que o resíduo resultante tem média zero e que sua projeção sobre
é nula (está implícito nas contas anteriores), o que confirma que se trata de um mínimo dos mínimos quadrados.