1. Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=x^{3}+1 no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta mais próxima ao gráfico y=x^{3}+1 no intervalo [-1,1].
Informações dadas:
  • A função a ser aproximada é f(x)=x^{3}+1.
  • O intervalo considerado é [-1,1].
  • Queremos encontrar uma reta (função afim) g(x)=ax+b que seja “a mais próxima” de f em todo o intervalo [-1,1].
Pergunta explícita:
  • Qual é a equação da reta g(x)=ax+b que minimiza o erro com f(x) no intervalo [-1,1]?

Passo 2

Entendimento do que significa “reta mais próxima” e escolha do método (explicação didática).
  • Aqui vamos entender “mais próxima” como minimizar o erro quadrático médio ao longo do intervalo, isto é, minimizar a área sob o quadrado da diferença entre f e g. Isso é natural para medir proximidade: penaliza diferenças grandes e dá uma medida global no intervalo.
  • Formalmente, definimos a função erro (energia)
E(a,b)=\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)^{2}\,dx=\int_{-1}^{1}\bigl(x^{3}+1-(ax+b)\bigr)^{2}\,dx.
  • Vamos escolher a e b que minimizam E(a,b). Esse é o método dos mínimos quadrados contínuos (projeção de f no espaço das funções lineares sob o produto interno \langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1}u(x)v(x)\,dx).
  • Intuição rápida e útil: no mínimo, o erro residual r(x)=f(x)-g(x) é ortogonal (no sentido do produto interno acima) a todas as funções da família que estamos usando para aproximar — aqui, às funções 1 e x. Isso gera equações simples para a e b.

Passo 3

Escrever as condições normais (equações de ortogonalidade) e explicar cada termo.
  • Queremos E(a,b) mínimo. Derivando em relação a a e b e anulando, ou usando a condição de ortogonalidade, obtemos as duas equações:
\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx=0
e
\int_{-1}^{1}x\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx=0.
  • Essas equações significam que o resíduo r(x)=f(x)-g(x) tem média zero no intervalo (primeira equação) e que é ortogonal à função x (segunda equação).
  • Agora vamos substituir f(x)=x^{3}+1 e g(x)=ax+b nessas equações e calcular.

Passo 4

Primeira equação: média zero do resíduo. Substituição e simplificação passo a passo.
  • Começamos com
\int_{-1}^{1}\bigl(x^{3}+1-(ax+b)\bigr)\,dx=0.
  • Separando integrais:
\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx+\int_{-1}^{1}1\,dx - a\int_{-1}^{1}x\,dx - b\int_{-1}^{1}1\,dx = 0.
  • Calcule cada integral explicitamente:
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0 (função ímpar sobre intervalo simétrico).
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}1\,dx = 2.
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx = 0 (função ímpar).
  • Substituindo:
0 + 2 - a\cdot 0 - b\cdot 2 = 0.
  • Simplificando:
2 - 2b = 0.
  • Logo,
b=1.

Passo 5

Segunda equação: ortogonalidade em relação a x. Substituição e organização.
  • A segunda condição é
\int_{-1}^{1} x\bigl(x^{3}+1-(ax+b)\bigr)\,dx = 0.
  • Expandindo o integrando:
\int_{-1}^{1}\bigl(x^{4}+x - a x^{2} - b x\bigr)\,dx = 0.
  • Vamos calcular cada integral separadamente e usar o valor já encontrado de b quando conveniente.

Passo 6

Cálculo das integrais da segunda equação, com atenção à paridade das funções.
  • Calcule:
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{5}. (par, dobramos a integral em [0,1]).
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx = 0 (ímpar).
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}. (par).
    • \displaystyle \int_{-1}^{1}b x\,dx = b\int_{-1}^{1}x\,dx = b\cdot 0 = 0.
  • Substituindo na equação:
\frac{2}{5} + 0 - a\cdot\frac{2}{3} - 0 = 0.
  • Isolando a:
a\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{5}.
  • Portanto,
a = \frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{5}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida.
  • Encontramos os coeficientes a e b:
a=\frac{3}{5},\qquad b=1.
  • Esses valores vêm das condições de ortogonalidade do resíduo com 1 e com x, garantindo que a reta encontrada minimiza o integral do quadrado do erro em [-1,1].
  • Pode-se também verificar rapidamente que o resíduo resultante tem média zero e que sua projeção sobre x é nula (está implícito nas contas anteriores), o que confirma que se trata de um mínimo dos mínimos quadrados.

Resposta

y=\dfrac{3}{5}x+1

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